Re: [obm-l] Determinante

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Claudio Buffara wrote:

>Alguem tem uma solucao "esperta" pra esse aqui?
>
>A matriz A = (a_ij) 2005x2005 eh tal que a_ij = 0 se i+j eh par e a_ij = 1
>se i+j eh impar. 
>I_2005 eh a matriz identidade de ordem 2005.
>Calcule det(A + I_2005).
>
>[]s,
>Claudio.
>

talvez!

Seja a o vetor com 2005 coordenadas da forma a = (0, 1, 0, 1, ..., 0) e 
b também com 2005 coordenadas da forma b = (1, 0, 1, 0, ..., 1).
Note que a matriz A é formada pelas colunas a, b na seqüência [a b a b 
... a].

Sabemos que det(A - I) é o produto dos auto-valores de A + I. Mas se d é 
auto-valor de A + I então d - 1 é auto-valor de A, então, se soubermos 
todos os auto-valores de A então sabemos cacular o determinante pedido.

Observe que para qualquer vetor x, Ax é uma combinação linear de a e b. 
Suponha
Ax = d x, devem existir r e s tais que
x = r a + s b, ou seja, todo auto-vetor x é combinação linear de a e b.

Ademais, observe que
Aa = 1002 b e
Ab = 1003 a, logo se
A(r a + s b) = d(r a + s b) então
d(r a + s b) = 1002r b + 1003s a

Normalmente não podemos fazer o que vamos fazer, mas como a e b tem 
coordenadas não-nulas complementares, temos
d*r = 1003s
d*s = 1002r.
Manipulando um pouco, obtemos 1002 r^2 = 1003 s^2, como 1002 e 1003 são 
primos entre si só pode haver as seguintes soluções:
r = +/- raiz(1003)
s = +/- raiz(1002).
Temos que d pode ser raiz(1003*1002) ou -raiz(1003*1002). Esses são os 
dois únicos auto-valores não nulos de A. Pelo que constatamos logo no 
começo, os auto-valores de A + I são 1 + raiz(1003*1002), 1 - 
raiz(1003*1002) e 1 com multiplicidade 2003.

Agora é só calcular o produto... Aqui eu vou generalizar o resultado e 
falar de uma matriz de tamanho 2m + 1. Neste caso, o determinante é
[1 + raiz(m*(m+1))] [1 - raiz(m*(m+1))] = 1 - m*(m+1) = 1 - m - m^2.

[ ]'s
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================