Re: [obm-l] Algarismos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Chame o numero de 10^n*a + B, onde 1 <= a <= 9  e  0 <= B < 10^n.

Entao, 10*B + a = 1,5*(10^n*a + B) ==>
20*B + 2*a = 3*10^n*a + 3*B ==>
(3*10^n - 2)*a = 17*B

Agora eh soh usar o teorema fundamental da aritmetica e propriedades
elementares das congruencias pra achar o menor valor possivel de n.

Depois disso, fica facil...

Eu mandei esse pra lista porque achei que era um pouco menos trivial do que
os problemas sobre algarismos que costumam aparecer.

[]s,
Claudio.

on 14.12.04 15:37, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> Eh imediato que inteiros positivos compostos por um unico algarismo nao
> atendem aa condicao dada. Suponhamos entao que o inteiro positivo k tenha
> pelo menos 2 algarismos e sejam a_0>0 o da casa mais elevada, n, e a_n o das
> unidades. Seja m o numero formado pelos algarismos a_1 a a_(n-1),
> convecionando-se que m=0 se m tiver apenas 2 algarismos.
> Temos entao que k = (10^n)*a_0 + 10m + a_n. Movendo-se a_0 para a casa das
> unidades, obtemos k' = 100m + 10a_n + a_0.  Devemos ter que k' = 1,5 k,
> condicao que, com algumas manipulacoes algebricas simples, nos leva a que
> 17(a_n +10m) = ((1,5)*10^n - 1)*2*a_0
> Para que esta equacao possa ser satisfeita, o primeiro membro tem que ser
> par, o que acarreta que a_n tenha que ser par. Alem disto, o segundo membro
> tem que ser multiplo de 17. Como 1 <=a_0 <=9, concluimos que (1,5)*10^n - 1
> tem que ser multiplo de 17. Variando-se n a partir de 1, obtemos 14, 149,
> 1499, 14999,...que sempre terminam em 9 para n>=2. Multiplos de 17 so
> terminam em 9 se 17 for multiplicado por um inteiro que termine em 7, de
> modo que (1,5)*10^n - 1 tem que ser multiplo de algum inteiro terminado em
> 7. Com a planilha Excel chequei que ateh n = 9,  (1,5)*10^n - 1 nao eh
> multiplo de 17. A partir de n=10, os numeros crescem muito e com o Excel nao
> consigo ter certeza. Assim, a menos que eu tenha cometido algum engano,
> devemos ter n>=10, ou seja o numero procurado tem pelo menos 11 algarismos.
> A expressao (1,5)*10^n - 1 nem sempre eh um numero primo, pois 14999 = 53 x
> 283.
> Foi ateh onde cheguei, nao consegui concluir. Mas, eu sou muito ruim em
> teoria dos numeros.
> Artur
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] Algarismos
> Data: 13/12/04 21:55
> 
> Mais um problema sobre algarismos...
> 
> Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo mais a
> esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades) obteremos um
> inteiro uma vez e meia maior do que o original.
> 
> []s,
> Claudio.
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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