Re: [obm-l] Algarismos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eh imediato que inteiros positivos compostos por um unico algarismo nao
atendem aa condicao dada. Suponhamos entao que o inteiro positivo k tenha
pelo menos 2 algarismos e sejam a_0>0 o da casa mais elevada, n, e a_n o das
unidades. Seja m o numero formado pelos algarismos a_1 a a_(n-1),
convecionando-se que m=0 se m tiver apenas 2 algarismos. 
Temos entao que k = (10^n)*a_0 + 10m + a_n. Movendo-se a_0 para a casa das
unidades, obtemos k' = 100m + 10a_n + a_0.  Devemos ter que k' = 1,5 k,
condicao que, com algumas manipulacoes algebricas simples, nos leva a que
17(a_n +10m) = ((1,5)*10^n - 1)*2*a_0  
Para que esta equacao possa ser satisfeita, o primeiro membro tem que ser
par, o que acarreta que a_n tenha que ser par. Alem disto, o segundo membro
tem que ser multiplo de 17. Como 1 <=a_0 <=9, concluimos que (1,5)*10^n - 1
tem que ser multiplo de 17. Variando-se n a partir de 1, obtemos 14, 149,
1499, 14999,...que sempre terminam em 9 para n>=2. Multiplos de 17 so
terminam em 9 se 17 for multiplicado por um inteiro que termine em 7, de
modo que (1,5)*10^n - 1 tem que ser multiplo de algum inteiro terminado em
7. Com a planilha Excel chequei que ateh n = 9,  (1,5)*10^n - 1 nao eh
multiplo de 17. A partir de n=10, os numeros crescem muito e com o Excel nao
consigo ter certeza. Assim, a menos que eu tenha cometido algum engano,
devemos ter n>=10, ou seja o numero procurado tem pelo menos 11 algarismos. 
A expressao (1,5)*10^n - 1 nem sempre eh um numero primo, pois 14999 = 53 x
283.
Foi ateh onde cheguei, nao consegui concluir. Mas, eu sou muito ruim em
teoria dos numeros.
Artur

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Algarismos
Data: 13/12/04 21:55

Mais um problema sobre algarismos...

Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo mais a
esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades) obteremos um
inteiro uma vez e meia maior do que o original.

[]s,
Claudio.

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