Re: [obm-l] diferenciabilidade

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Antes de concluir a mensagem eu apertei
equivocadamente o botao enviar. Assim a primeira
mensagem sobre este assunto saiu incompltea e talvez
incompreensivel. Esta eha  aque vale.

Vou apresentar a prova da questao 2(que, alias, nao eh
de minha autoria, eh uma prova classica - tem uma
similar no livro do Apostol). Nao eh muito trivial e
eh um tanto intrincada, mas nao dificil. A questao 1
eh bem mais simples e acarreta que f seja, na
realidade, nao apenas continua mas Lipschitz na
vizinhanca mencionada.

Depois que eu havia concluido a prova da 2, eu vi que
troquei as bolas (ou melhor, as derivadas) e, na minha
prova, f_1 eh a derivada parcial humilde que apenas
existe em c e f_2 eh aquela poderosa que existe em uma
vizinhanca de c e eh continua em c. Assim, estou
mostrando que  

2- Seja f definida numa vizinhanca de um ponto c  pert
a R^2 com valores em R. Suponha que  a derivada
parcial de f com relacao aa 2a variavel, f_2,  exista
numa vizinhanca de c e seja continua em c e que a    a
derivada parcial de f com relacao aa primeira  
variavel, f_1, exista em c. Prove que f eh dif. em c.

Observe que estamos assumindo uma hipotese mais fraca
do que a originalmente citada. A continuidade de f_2
soh eh assumida em c, e nao em toda uma vizinhanca de
c. Nesta vizinhanca, afora c, apenas assumimos
existencia. Assim, a minha f_2 eh menos poderosa que a
sua (e mais competitiva, porque com menos recursos
consegue tambem garantir a diferenciabilidade de f em
c! Eu poderia vende-la mais barato que a sua e ganhar
uma concorrencia de derivadas parciais que garantan
diferenciabilidade). Brincadeiras de lado, eh estranho
que nao parece ser muito difundido que a
diferenciabilidade de f vigora nesta condicoes mais
fracas.
  
Para simplificar, podemos, sem perda de generalidade,
supor que c = (0,0). Suponhamos que f_1 exista em 
(0,0) e que f_2 seja continua em (0,0) e exista numa
bola aberta B centrada na origem. Precisamos mostrar
que existe uma funcao linear L, a derivada de f em
(0,0), tal que, para todo vetor h = (h1,h2)
pertencente a B, tenhamos que f(h1,h2) - f(0,0) = L(h)
+ o(|h|), sendo o uma funcao tal que o(|h|)/|h|) -> 0
quando |h| -> 0   
Se h1<>0 e h_2<>0 tem valor absoluto suficientemente
pequeno para que (h1,h2) esteja em B, entao f(h1,h2) -
f(0,0) = f(h1,h2) - f(h1,0) + f(h1,0) - f(0,0) (Eq.
1).
Como f_2 existe em B, podemos aplicar o Teorema do
Valor Medio (caso unidimensional) para obter um ponto
p no segmento de reta unindo (h1,0) e (h1, h2) que
satisfaca a f(h1,h2) - f(h1,0) = f_2(p)*
h2. Assim, podemos escrever f(h1,h2) - f(h1,0) =
f_2(0,0)*h2 + [f_2(p) - f_2(0,0)]*h2 .
Como f_1 existe em (0,0), temos que f(h1,0) - f(0,0) =
f_1(0,0)*h1 + o(h1), sendo que o(h1)/h1 tende a zero
quando h1 vai para zero.
Considerando agora a continuidade de f_2 em (0,0),
notamos que, se (h1,h2) -> (0,0), entao g(h1,h2)
=[f_2(p) - f_2(0,0)] -> 0 (considerando que p depende
de h1 e de h2). Substituindo-se na Eq.1 e
rearranjando-se as parcelas, chegamos a que que
f(h1,h2) - f(0,0) =
f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + o(h1) + g(h1,h2)*h2 =
f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + v(h1,h2),sendo v(h1,h2) =
[o(h1) + g(h1,h2)*h2]. Temos entao que
v(h1,h2)/(|(h1,h2|) =  [o(h1) + g(h1,h2)*h2]/|(h1,h2)|
= o(h1)/|(h1,h2)| + g(h1,h2)*[{h2)/|(h1,h2)| =
(o(h1)/h1)*(h1/|(h1,h2)| + g(h1,h2)*[h2/|(h1,h2)|.
  
Mas como|h1|/|(h1,h2| e  |h2|/|(h1,h2)| permanecem
limitadas por 1 na bola aberta B para (h1,h2)<> (0,0),
inferimos que v(h1,h2)/(|h1,h2)| ->0 quando (h1,h2) ->
(0,0). Usando a notacao o, isto significa que f(h1,h2)
- f(0,0) = f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + o(|(h1,h2)) =
f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2 + o(|h|. Isto nos mostra que
f eh diferenciavel em (0,0) e que sua derivada neste
ponto eh a funcao linear que transforma 0 vetor
(h1,h2) no numero real f_1(0,0)*h1 + f_2(0,0)*h2.  
Este resultado eh facilmente generalizavel para R^n,
bastando "ziguezaguear" na bola B e aplicar repetidas
vezes o T. do Valor Medio do caso unidimensional.

Abracos
Artur 


		
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