Re: [obm-l] aritimetica dos inteiros

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

O que vc fez me parece legal. Acho que eu nao faria
melhor (o que, por sinal, nao eh nenhum elogio).
Quanto aa unicidade da solucao, temos, conforme
demonstrado, que z = (729/99) - (8/y) = 7,3636...-8/y.
Se y -> oo, z -> 7,3636.., o que significa que, para y
suficientemente grande, 7 < z < 7,3636.., de modo que
z eh fracionario.  Resolvendo a inequacao, vemos que y
suficientemente grande significa y > 22. Assim,
qualquer solucao com y inteiro positivo tem que ter 
y<=22. Se y for potencia de 2, 8/y eh inteiro ou
termina em ,5, de modo que nao atende. Se for potencia
de 3 vai terminar em ,333... ou ,9999.. e tambem nao
atende. Potencias de 5 ou de 10 nao dao dizimas
periodicas e tambem nao servem.  6, 12, 18 claramente
nao servem pois dao ,333.  ,666.. , ou ,999.. Sobram
7, 11, 15, 17, 19, 20, 21, 22. 15 e 20 claramente nao
servem. Testando os outros (nada cientifico..) vemos
que so o 22 atende, mostrando a unicidae da solucao. 
De forma similar, um pouco mais trabalhosa, acho que
vc mostra que nao haha tambem solucoes inteiras
negativbas.
Artur

--- Fabio Niski <fniski@terra.com.br> wrote:

> Mandaram esse pergunta em uma comunidade de duvidas
> do orkut:
> 
> "UFMG (Adaptada): Considere x, y e z números
> naturais. Na divizão de x 
> por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a
> representação 
> decimal de x/y é a dízima periódica 7,36363636... .
> Qual o valor de x + 
> y + z.
> A resposta é 191, mas estou com dificuldades de
> "fomalizar" a resposta 
> (pô-la em formato discursivo, estilo 2a fase)."
> 
> Segue a minha resposta:
> 
> "Bom acho que é facil (se não for, me de um toque e
> eu explico isso com 
> mais cuidado) inferir do enunciado que devemos
> resolver o sistema
> 
> {yz + 8 = x (I)
> {99x = 729y (II)
> 
> de modo que x,y,z seja inteiros.
> 
> Bom de II vem que x = 729y/x
> substituindo isso em I ficamos com
> 
> yz + 8 = (729y)/99
> z = (729/99) - (8/y) (III)
> 
> Bom queremos solucoes inteiras
> e eu sei que 729/99 = 7,363636...
> Logo, para (III) ser inteiro,
> (8/y) deve ser alguma tralha que acabe com
> ,363636...
> Em particular(*) vamos impor que
> 8/y = 0,363636...
> logo
> 792/y = 36
> y = 22
> 
> De I e II voce tira que
> x = 162 e z = 7."
> 
> A pergunta que fica é a seguinte...
> Sera que existe algum numero a, tal que
> impondo
> 8/y = a,363636...
> y continua inteiro, x = 729y/99 tb continua inteiro?
> 
> A unicidade da resposta desse problema esta em
> aberto pra mim...se 
> alguem souber como provar (ou refutar) me avise!
> 
> Niski
> 


		
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