Que tal isso aqui?
x = z*y + 8 com y > 8 ==>
x/y = z + 8/y ==>
z + 8/y = 7,3636... = 7 + 36/99 = 7 + 8/22 ==>
z - 7 = 8/22 - 8/y com z e y naturais e y > 8 ==>
8/22 - 8/y é natural.
Mas -1 < 8/22 - 8/9 <= 8/22 - 8/y < 8/22 < 1 ==>
8/22 - 8/y = 0 ==>
y = 22 ==>
z = 7 ==>
x = 7*22 + 8 = 162 ==>
x + y + z = 162 + 22 + 7 = 191.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 08 Dec 2004 14:12:44 -0200 |
| Assunto: |
[obm-l] aritimetica dos inteiros |
> Mandaram esse pergunta em uma comunidade de duvidas do orkut:
>
> "UFMG (Adaptada): Considere x, y e z números naturais. Na divizão de x
> por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação
> decimal de x/y é a dízima periódica 7,36363636... . Qual o valor de x +
> y + z.
> A resposta é 191, mas estou com dificuldades de "fomalizar" a resposta
> (pô-la em formato discursivo, estilo 2a fase)."
>
> Segue a minha resposta:
>
> "Bom acho que é facil (se não for, me de um toque e eu explico isso com
> mais cuidado) inferir do enunciado que devemos resolver o sistema
>
> {yz + 8 = x (I)
> {99x = 729y (II)
>
> de modo que x,y,z seja inteiros.
>
> Bom de II vem que x = 729y/x
> substituindo isso em I ficamos com
>
> yz + 8 = (729y)/99
> z = (729/99) - (8/y) (III)
>
> Bom queremos solucoes inteiras
> e eu sei que 729/99 = 7,363636...
> Logo, para (III) ser inteiro,
> (8/y) deve ser alguma tralha que acabe com ,363636...
> Em particular(*) vamos impor que
> 8/y = 0,363636...
> logo
> 792/y = 36
> y = 22
>
> De I e II voce tira que
> x = 162 e z = 7."
>
> A pergunta que fica é a seguinte...
> Sera que existe algum numero a, tal que
> impondo
> 8/y = a,363636...
> y continua inteiro, x = 729y/99 tb continua inteiro?
>
> A unicidade da resposta desse problema esta em aberto pra mim...se
> alguem souber como provar (ou refutar) me avise!
>
> Niski
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>