[obm-l] sequencia das medias ponderadas

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Embora bastante atrasado, vou finalmente apresentar
ademonstracao que a Ana pediu sobre a desigualdade
valida para a seq. das medias ponderadas. 

Sejam x_n uma sequencia de numeros reais e p_n uma
seq. de pesos nao negativos com p_1>0. Para
n=1,2...definamos s_n =
(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/Soma(i=1,n)p_i). Se Soma(i=1,oo)
p_i divergir, entao, no sistema dos reais expandidos,
temos que lim inf x_n <= lim inf s_n <= lim sup s_n <=
lim sup x_n.   
A desigualdade do meio vale para qualquer seq. de
numeros reais. Vou mostrar a da esquerda. A prova da
desig. da  direita eh inteiramente analoga.

Como os p_i sao não negativos, a divergencia de
Soma(n==1,oo)p_i implica que esta serie diverge para +
oo. Se lim inf x_n = -oo, entao a desigualdade eh
trivialmente satisfeita. Se lim inf x_n for real,
entao para todo q < lim inf x_n existe um inteiro
positivo k tal que x_n > q para n > k. Seja w = minimo
{x_1,...x_k}. Para n>k, temos entao que s_n =
(Soma(i=1,k)p_i*x_i +
Soma(i=k+1,n)p_i*x_i))/(Soma(i=1,n)p_i) > 
(Soma(i=1,k)p_i*w +
Soma(i=k+1,n)p_i*q))/(Soma(i=1,n)p_i)  =
w*Soma(i=1,k)p_i +
q*Soma(i=k+1,n)p_i)/(Soma(i=1,n)p_i) =
(w*Soma(i=1,k)p_i + q*(Soma(i=1,n)p_i-
Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) =
((w-q)*Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) + q.
Mantendo-se k e q fixos, definamos, para n>k, y_n =
((w-q)*Soma(i=1,k)p_i))/(Soma(i=1,n)p_i) + q. Como
(Soma(i=1,n)p_i) ->oo quando n->oo, temos que y_n->q.
E como s_n > y_n para n>k, temos que lim inf s_n >=
lim inf y_n = lim y_n = q. Para todo q < lim inf x_n
temos, portanto, que lim inf s_n >= q, o que implica
automaticamente que lim inf x_n <= lim inf s_n. 
As desigualdades apresentadas implicam tambem que, se
x_n -> x e Soma(p_n) diverge, entao s_n -> x
(inclusive se x = + ou - oo, nos reais expandidos).  
Outra conclusao mais facil de mostrar eh que, se x_n
eh limitada em R e Soma(p_n) converge, entao s_n
converge (desta vez, se x_n convergir nao precisamos
ter lim s_n = lim x_n).
No meu caso real eu tenho uma sequencia s_n
correspondente a uma x_n limitada e nao negativa e a
uma p_n limitada. Eu conheco limites superiores para 
x_n e p_n, mas os termos de ambas sao gerados
estocasticamente por um programa de simulacao. Estou
quase certo que Soma(p_n) diverge. Serah que existe
algum processo para decidir se s_n converge? Alguem
tem alguma sugestao?
Abracos
Artur



		
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