[obm-l] "Game" de Tenis

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Numa partida de tenis, suponhamos que um dos jogadores venca um dado ponto
com probabilidade p (suposta constante). Qual a probabilidade dele vencer um
"game"?

Pra quem nao sabe, vence um "game" o jogador que chegar a 4 pontos, desde
que o outro nao faca mais do que 2 pontos. Se o jogo empatar em 3 a 3,
ficarah "indo a 2" ateh que um dos jogadores abra uma vantagem de 2 pontos,
vencendo o jogo.

Chamemos de A o jogador do enunciado.

As possibilidades de A vencer sao:
1) A vence por 4 a 0:
Prob = p^4

2) A vence por 4 a 1:
Prob = 4*p^4*(1-p)

3) A vence por 4 a 2:
Prob = 10*p^4*(1-p)^2

4) O jogo chega a 3 a 3 e A vence eventualmente:
Probabilidade do jogo chegar a 3 a 3 = 20*p^3*(1-p)^3
Seja X = Probabilidade de A vencer dado que ficou 3 a 3.
Entao, X = p^2 + 2*p*(1-p)*X ==> X = p^2/(1-2*p+2*p^2) ==>
Prob = 20*p^5*(1-p)^3/(1-2*p+2*p^2)

Logo, A vence o game com probabilidade igual a:
p^4 + 4*p^4*(1-p) + 10*p^4*(1-p)^2 + 20*p^5*(1-p)^3/(1-2*p+2*p^2)

Agora, se fizermos uma tabela relacionando p com a probabilidade de A vencer
o "game", obteremos:
   p    P(A vence "game")
  0,0%        0,0%
  0,0%        0,1%
 20,0%        2,2%
 30,0%        9,9%
 40,0%       26,4%
 50,0%       50,0%
 60,0%       73,6%
 70,0%       90,1%
 80,0%       97,8%
 90,0%       99,9%
100,0%      100,0%

Ou seja, a regra do jogo amplifica a diferenca entre os jogadores.

Se tambem levarmos em conta a distribuicao de "games" num "set" e a dos
"sets" numa partida, veremos que essa diferenca eh amplificada ainda mais.
Ou seja, as regras do tenis favorecem o jogador mais forte, dando a ele uma
vantagem mais do que proporcional a sua probabilidade de vencer um dado
ponto.

A analise completa pode ser encontrada no livro "Game, Set and Math" de Ian
Stewart, um matematico ingles que jah escreveu varios livros de
"popularizacao da matematica" (entre aspas porque alguns dos topicos que ele
trata sao extremamente sofisticados e soh quem jah eh um aficionado vai ter
persistencia pra chegar ateh o fim do livro).

Em particular, Stewart mostra que se P(A vencer um dado ponto) = 60%, entao
P(A vencer a partida) = 99,95%. Serah que isso explica o dominio quase
absoluto de alguns jogadores (Pete Sampras, Martina Navratilova, Stefi
Graff, por exemplo) durante um certo periodo em que eles estao no auge da
forma e tem p > 0,5 contra qualquer outro oponente?

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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