[obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]

[Lu�s Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

===
>O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo 
>Wagner.
===
Poderia ser o caso se n�o tivesse enviado a solu��o de
Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, 1952.

Talvez esse problema esteja no FG-M tamb�m. N�o olhei.

As primeiras tentativas de solu��o da lista para este problema
baseavam-se na constru��o de elementos obtidos algebricamente
(diagonais e circumraio, se me lembro bem).
Pergunto: tendo-se mostrado que o problema tem uma solu��o
alg�brica, ser� que SEMPRE podemos obter uma solu��o
geom�trica? Penso que sim, depois de ver solu��es
geom�tricas para muitos problemas onde achava que s� a
solu��o bruta alg�brica seria poss�vel.

Proponho ent�o dois problemas para os quais tenho somente
sols. alg�bricas. Ser� que existiriam sols. geom. tamb�m???

Construir o tri�ngulo ABC dados:

1) A, m_a, r
2) A, m_a, r_a

A=�ngulo, m_a = mediana que parte de A; r (in-raio) r_a (ex-raio).

Amanh� proponho mais um de quadril�tero.

[]'s
Luis


>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
>Date: Tue, 09 Nov 2004 17:36:58 -0200
>
>on 08.11.04 12:35, Lu�s Lopes at qed_texte@hotmail.com wrote:
> >
> > Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta
> > sim�trica do lado AD com rela��o � bissetriz do �ngulo BAC.
> >
> > Lema: a reta m cont�m um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD 
>.
> > O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD � c�clico.
> >
>Agora faz sentido!
>
> > Dos tri�ngulos ACD e AOB, temos /_ ABO = /_ ADC .
> >
> > Assim, se ABCD � c�clico, o ponto O est� no lado BC; e somente nesse 
>caso,
> > pois, reciprocamente, se O est� em BC ent�o ABCD � c�clico.
> >
> > Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD � c�clico.
> >
> > Na dem. do lema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d.
> >
>Pois os triangulos OBA e CDA sao semelhantes.
>
> > Da� a const. que segue:
> >
> > 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d
> > (com B entre O e > C). Isso implica que OC = (ac + bd)/d = xy/d.
> >
> > 2) um lg para A � o c�rculo (B,a). O outro � um c�rc. de Apol�nio
> > considerando os pontos O e C.
> >
>Ou seja, A pertence ao l.g. dos pontos X tais que |XO|/|XC| = a/d.
>
>Legal, com A construido, basta tracar os circulos (A,d) e (C,c), cujo ponto
>de interseccao no interior do angulo ABC eh justamente D.
>
>O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo
>Wagner.
>
>[]s,
>Claudio.
>


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================