[obm-l] Re:

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Bem Artur, eu estou convencido de que f(x^2) não é
periódica, mas não sei se entendi bem esta última
demonstração. Achei meio complicada para o meu nível.
Mas, ainda tratando deste problema (que é muito
interessante), deixa eu recaptular as conclusões das
mensagensa anteriores, para ver se tu e o Cláudio
concordam:

g(x) = f(u(x))

- Se u(x) for periódica -> g(x) é períódica. Nào se
pode saber o período de g(x), mas pode-se afirmar que 
pG = pU/n , onde pG = período de g(x), pU = período de
u(x), n é um número inteiro = 1, 2, 3,... Prova-se
isso com:

g(x + pU) = f(u(x + pU)) = f(u(x)) = g(x) 
   
O exato valor de pG vai depender do caso, da imagem de
u(x, da forma de f(x), etc.

- Se f(x) é períodica e u(x) é não periódica, g(x) não
será periódica, exceto se u(x) for linear. Pode-se
provar isto adaptando qualquer uma das formas que
usamos para provar que f(x^2) era nào períodica,
certo?

Por fim, se nem f(x) nem g(x) forem períodicas, nada
se pode afirmar a priori. Já que, como mostrou o
Cláudio, g(x) poderá será periódica mesmo nesta
situação.
 
Seria isso?

Sds, Demétrio 
--- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br>
escreveu: 
> Amigos Cláudio e Demétrio
> pesquisei na Internet sobre aquela questão da função
> periódica e encontrei
> esta outra prova de que f(x^2) não é periódica.
> Achei interessante,  apesar
> de eu ter ficado com algumas dúvidas.
> O que vocês acham dela?
> Artur
> 
> > Suppose f:R->R is continuous, periodic and
> non->constant on R. Then, is it
> possible that g(x) = f(x^2) is periodic on R?
> > 
>   Here is another, almost elementary approach.
>   Let f(x) be continuous and periodic with period
> T>0. Suppose that
> M=maxf(x), m=minf(x). Let's say that f(x) makes an
> "inversion" in the
> segment [a,b], if f({a,b})={m,M} and m<f(x)<M for
> any x in (a,b).
> Define now the "inversion index" of f in some
> segment I as the sum of
> all inversions of f in I. We shall denote it by
> Inv(f(x),I).
>   It is easy to see that the inversion index is
> finite and positive on
> any (bounded) segment of length > T.
>   Suppose now that g(x)=f(x^2) is periodic with
> period p>0. Then
>                    f(x^2) = f(x^2+2px+p^2),   x in
> R.
>   Making a change of the variable we get
>                    f(x) = f(x+2p.sqrt(x)+p^2),   x>
> =0.
>   Set for convenience h(x) = 2p.sqrt(x)+p^2, so
>                    f(x) = f(x+h(x)),   x> =0.
>   Consider now the map x -> x+h(x). It is clearly
> strictly monotone.
> Take some sufficiently large segment [0,N], then its
> image is the
> segment [h(0),N+h(N)]. Hence the above formula gives
> that the
> inversion indices of f(x) over these two segments
> should coincide:
>              Inv(f(x), [0,N]) = Inv(f(x),
> [h(0),N+h(N)]).
>   But this is impossible, as h(N) ->infinity so the
> difference between
> the lengths of these segments tends to infinity as
> well and the second
> index should increase by k.Inv(f(x),[0,T]), k –
> arbitrarily large.
>   It is clear that this method may be extended to
> more general situations. 
> 
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