Re: [obm-l] serie dos inversos dos primos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Eu acho mesmo que o Artur vai gostar dessa aqui:

A ideia eh provar que, para x >= 2, SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - 1, onde
a soma em questao se estende aos primos <= x. A divergencia da serie dos
inversos dos primos eh uma consequencia imediata dessa desigualdade.

Seja A = conjunto dos naturais cujos fatores primos sao <= x.
Entao, o produtorio:
PRODUTO(p <= x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...)
eh igual a soma:
SOMA(n em A) 1/n.

Em particular, se n <= x, entao n pertence a A, de forma que a soma:
SOMA(1 <= n <= x) 1/n estah incluida na soma acima.

Agora, sabemos que:
SOMA(1 <= n <= N) 1/n >= INTEGRAL(1 a N+1) dx/x = log(N+1) > log(x).

Logo, 
SOMA(n em A) 1/n > SOMA(1 <= n <= x) 1/n > log(x).

Por outro lado,
SOMA(n em A) 1/n =
PRODUTO(p <= x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...) =
PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p).

Ou seja:
PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p) > log(x).

*****

Agora, para a grande sacada da demonstracao:
a desigualdade: 
exp(y + y^2) >= 1/(1 - y), para 0 <= y <= 1/2,
a qual se demonstra facilmente pela analise da derivada de:
f(y) = (1 - y)exp(y + y^2)

Fazendo y = 1/p para cada primo p <= x, e multiplicando as desigualdades
membro a membro, obtemos:
PRODUTO(p <= x) exp(1/p + 1/p^2) >= PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p) > log(x).

Mas: 
PRODUTO(p <= x) exp(1/p + 1/p^2) = exp( SOMA(p <= x) (1/p + 1/p^2) ),
de forma que:
exp( SOMA(p <= x) (1/p + 1/p^2) ) > log(x) ==>
SOMA(p <= x) (1/p + 1/p^2) > log(log(x)) ==>
SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - SOMA(p <= x) 1/p^2

Mas SOMA(p <= x) 1/p^2 < SOMA(n >= 2) 1/n^2 = Pi^2/6 - 1 < 1 ==>
SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - 1.

[]s,
Claudio.


on 08.11.04 14:12, kleinad@webcpd.com at kleinad@webcpd.com wrote:

> Artur Costa Steiner (artur@opendf.com.br) escreveu:
>> 
>> Oi pessoal,
>> Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1,
>> oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k>=1 um real? Eu sei que
>> para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos
>> provar isto?
> 
> Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre,
> então existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) < 1/2.
> 
> Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números
> da forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses
> números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r >= 1,
> temos
> 
> Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) <= Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t ,
> 
> visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da
> esquerda. Mas da observação feita no início,
> 
> Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t <= Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2
> 
> e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge. Mas
> 
> integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) -> oo
> quando A -> oo.
> 
> Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a
> nossa desejada contradição.
> 
> Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração
> combinatória desse resultado...
> 
> []s,
> Daniel
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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