Re: [obm-l] Sequencia numerica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Nov 07, 2004 at 06:30:25PM +0000, kleinad@webcpd.com wrote:
> >>> Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... � a soma de
> >>> uma PG
> >>> e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em
> >>> algum sentido,
> >>> f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
> >>
> >> Essa equa��o para soma de PG � o resultado de um
> >>limite quando 0
> >
> >Concordo com voc�, embora o Nicolau tenha feito a ressalva "em algum
> >sentido"... Mas que sentido?
> 
> Talvez o sentido seja considerar um limite de f(x) quando x tende a 1 pela
> esquerda... Mas como fa�o isso??

Isso. Recapitulando, o problema original era:

Quanto vale 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... ?

De acordo com a defini��o usual de converg�ncia, que voc� encontra
em qualquer livro de c�lculo ou de an�lise, esta � uma s�rie divergente
e portanto a soma infinita n�o est� definida.

Existem, entretanto, outras defini��es mais amplas de soma infinita
de acordo com as quais esta soma est� definida e vale 1/4.
Uma delas � a seguinte.

Fa�a f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ...
Queremos calcular ou definir f(1). Temos f(x) = 1/(1+x)^2 para |x| < 1.
Assim, � natural definir f(x) = 1/(1+x)^2 para todo x.
Em particular, para x = 1 esta defini��o pode ser justificada por
lim_{x -> 1} f(x) = 1/4.
Assim, no sentido que acabamos de discutir,
fica sendo natural dizer que 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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