Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Soh pra complicar mais ainda, tambem tem o caso onde nem f nem u sao
periodicas, mas g = fou eh periodica.
Por exemplo, u(x) = x^(1/3)  e  f(x) = cos(x^3).

on 05.11.04 18:42, Demetrio Freitas at demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br
wrote:

> Pois é... não sei se dá pra tirar alguma informação
> útil disso tudo. Por enquanto eu conclui que basta
> u(x) ser periódica para que g(x) também o seja:
> 
> g(x + n*p1) = f(u(x + n*p1)) = f(u(x)) = g(x)
> 
> Isso diz que g é períodica com período igual ou menor
> do que p1. 
>
u periodica eh uma condicao suficiente, mas nao necessaria, para que g = fou
seja periodica. Voce mesmo deu um exemplo da nao-necessidade: u(x) = kx.

O interessante eh achar alguma condicao necessaria.

> Porém não se pode afirmar muita coisa sobre o
> (menor)período de g. No caso "bonitinho", p de g é
> igual a p1. Por exemplo, f(x) = x^3 e u(x) = sen(x).
> (sen(x))^3 tem o mesmo período de sen(x).
> 
> Porém isso não é verdade em vários casos, onde o
> período de g é menor do que p1. Por exemplo:
> (sen(x))^2 tem período igual a metade de sen(x).
>
Esse eh outro problema: dada u periodica de periodo p1, o que podemos dizer
sobre o periodo de fou?
 
Seja m o periodo fundamental de g
g(x + p1) = f(u(x + p1)) = f(u(x)) = g(x) ==> p1/m eh inteiro

Quais as condicoes sobre f para termos p1/m = 1 ou 2 ou 3 ou ... ?

> E é claro que a coisa complica bem mais se f(x) for
> também periódica com período p<p1 ....
>
Nao tenho certeza. Acho que se resolvermos o problema acima, esse tambem
fica resolvido.

> 
> --- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br>
> escreveu: 
>> Eh complicado sim! Confesso-me enroladao! Eu nao
>> estou certo se aquela
>> funcao do problema original nao pode mesmo existir.
>> Artur
>> 
>> 
>> ---- Mensagem Original --------
>> De: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
>> Data: 05/11/04 14:50
>> 
>> Acho que, infelizmente, o problema eh complicado
>> mesmo.
>> 
>> Tome f(x) = cos(x) e u(x) = Pi*piso(x).
>> 
>> f eh continua e periodica, u nao eh linear nem
>> periodica, mas g = fou eh
>> periodica de periodo 2.
>> g(x) = 1 para x com parte inteira par
>> g(x) = -1 para x com parte inteira impar.
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> on 01.01.04 07:01, Claudio Buffara at
>> claudio.buffara@terra.com.br wrote:
>> 
>>> Nao jogue o problema fora!
>>> 
>>> A unica parte esquisita eh quando voce fala do mmc
>> de p e p1, jah que p e
>> p1
>>> podem ser irracionais, mas isso tem conserto.
>>> 
>>> Talvez a conclusao deva ser:
>>> Se g(x) eh periodica, entao, de duas uma:
>>> 1) u(x) = k*x, com k um real fixo
>>> ou
>>> 2) u(x) eh periodica de periodo p1 tal que p/p1 eh
>> racional. Nesse caso,
>>> qual a relacao entre o periodo de g, p e p1?
>>> 
>>> Uma ideia eh mudar o enunciado para "Prove ou de
>> um contra-exemplo".
>>> Ou entao, deixar o problema mais interessante
>> ainda:
>>> "Determine as condicoes necessarias e suficientes
>> sobre u para que g seja
>>> periodica."
>>> 
>>> []s,
>>> Claudio.
>>> 
>>> on 04.11.04 21:57, Demetrio Freitas at
>> demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br
>>> wrote:
>>> 
>>>> Pra falar a verdade, creio que esta tudo
>> errado...
>>>> 
>>>> --- Demetrio Freitas
>>>> <demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
>>>>> Sugiro uma variação do mesmo problema.
>>>>> 
>>>>> Seja f(x) uma função contínua R->R, períodica de
>>>>> período p. 
>>>>> Seja g(x) = f(u(x))
>>>>> 
>>>>> Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x
>> ou
>>>>> se 
>>>>> u(x) for também periódica. E neste caso g(x)
>> terá um
>>>>> período igual ao mmc entre p e p1, onde p1 é o
>>>>> período de u(x).
>>>>> 
>>>>> Considere que p/p1 é racional.
>>>>> 
>>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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