Re: [obm-l] funcao periodica

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Desculpem, acho que o enunciado anterior tem erro:
Se p1 < p o período final é igual a p1.  

 --- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu: 
> Sugiro uma variação do mesmo problema.
> 
> Seja f(x) uma função contínua R->R, períodica de
> período p. 
> Seja g(x) = f(u(x)) 
> 
> Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou
> se 
> u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
> período igual ao mmc entre p e p1,  onde p1 é o
> período de u(x). 
> 
> Considere que p/p1 é racional.
> 
> > 
> > > Eu estou um tanto enrolado. O fato de que f(x^2
> +
> > m*(2x+m)) = f(x^2) para
> > > todo real x tem que implicar que m*(2x+m) seja
> um
> > multiplo inteiro de p?
> > >
> > Eu diria que sim, já que f é periódica com período
> > fundamental p e x é arbitrário.
> > Repare que m*(2x + m) não precisa ser um múltiplo
> > constante de p mas, para todo x, m*(2x + m)
> precisa
> > ser igual a algum múltiplo inteiro de p e isso é
> > impossível, pois a função u:R -> R dada por u(x) =
> > m*(2x + m)/p é uma bijeção. Logo, não pode assumir
> > apenas valores inteiros.
> > 
> > > h(x + u(x)) = h(x) para todo real x, sendo h e u
> > funcoes de x, implica que u
> > > tenha que ser constante e igual a algum periodo
> de
> > h?
> > >
> > Não. Por exemplo, tome h(x) = sen(x) e u(x) =
> > 2*Pi*piso(x).
> > 
> > > Artur
> > >
> > > --------- Mensagem Original --------
> > > De: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> > > Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
> > > Data: 03/11/04 17:04
> > >
> > > Eu acho que g nao pode ser periodica.
> > >
> > > Suponha que g seja periodica com periodo
> > fundamental m > 0.
> > > Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==>
> > > f((x+m)^2) = f(x^2) ==>
> > > f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==>
> > > m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==>
> > > contradicao.
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.
> > >
> > >  
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