Re: [obm-l] Medias e Divisores

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d =
n. Suponhamos que n tenha m divisorese seja  P o
produto destes divisores. Se m for par,  podemos entao
expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo
d*(n/d) = n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n
tem um divisor d* tal que n/d* = d* (ou n teria
necessariamente um numero par de divisores). Entao, n
eh quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao
expressar P como um produto de (m-1)/2 fatores do tipo
d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso, P =
n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos
entao que G = P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 =
n.

Se d_1, ..d_m sao os divisores de n, entao n eh o mmc
destes divisores. Da definicao de media harmonica,
temos que que   m/H = 1/d_1 +...1/d_m =
[n/d_1....+n/d_m]/n. No numerador temos a soma dos m
divisores de n, de modo quem m/H = (m*A)/n, o que nos
leva a que A*H = n = G^2, completando a prova.
Artur 
--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos
> conceitos mais populares
> da lista:
> 
> Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e
> harmonica dos divisores
> positivos do inteiro positivo n.
> Prove que A*H = G^2 = n.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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