Re: [obm-l] Medias e Divisores

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, este problema é bem bonito. Ele tem as idéias mais interessantes
de divisibilidade que eu conheço para somatórias, lembrando (de longe)
as fórmulas de inversão.

Para quem quiser continuar pensando no problema, tem espaço para não ler.
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A idéia para este problema é notar que d|n (leia-se "d divide n") se e
somente se
k = n/d | n (ou seja, existe o "simétrico em relação a n") Daí, é
basicamente escrever as contas. Seja, então, D(n) o número de
divisores de "n".

A média aritmética é (Soma d tal que d|n)/D(n)
A média harmônica é 1/( (Soma 1/d tal que d|n)/D(n) ) (inverso da
média aritmética dos inversos. Fazendo 1/d = n/d * 1/n temos
H = 1/( (Soma n/d * 1/n tal que d|n)/D(n) ) = 1/( (Soma k* 1/n tal que
k|n)/D(n) )
   = 1/( (Soma k tal que k|n)/n*D(n) ) = n*D(n)/ (Soma k tal que k|n)
= n/A. Isto demonstra a primeira parte.

Para a média geométrica, escreva um dos produtos como
(Prod d tal que d|n) e o outro como
(Prod n/d tal que n/d=k|n).
Fazendo o produto destes caras, isso dá Prod(n tal que d|n), ou seja,
n^D(n). Como deveríamos ter tirado a raiz D(n) ésima para chegar a G,
acabou.

Abraços,
Bernardo Costa

On Fri, 01 Jan 1904 12:41:37 -0200, Claudio Buffara
<claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares
> da lista:
> 
> Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores
> positivos do inteiro positivo n.
> Prove que A*H = G^2 = n.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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