Re: [obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Ana,
1) Nao, nao tem. Os pontos de descontinuidade de uma f monotonica podem
muito bem ser pontos de acumulacao do conjunto das descontinuidades. Eu jah
vi um exemplo disto, soh que no momento nao me lembro. Acho que nao era
muito patologico, nao.

2) O conjunto dos pontos em que uma f monotonica eh descontinua tem medida
(de Lebesgue) nula (nao me peca para provar isto, eh um assunto que eu estou
estudando - mas tem em qualquer livro de teoria de medidas). Isto, porem,
nao significa que este conjunto seja enumeravel. Caso vc ainda nao tenha
ouvido falar em conjuntos de medida (de Lebesgue) nula, este eh um conceito
ligado aa teoria de medidas. Mas, na reta real, dizer que A tem medida nula
eh equivalente a dizer que, para todo eps>0, existe uma cobertura enumeravel
de A por intervalos abertos (a_n, b_n) tal que Soma (i=1, oo) (b_n - a_n) <
eps. Todo subconjunto enumeravel de R tem medida nula, mas a reciproca nao
eh verdadeira.
Na linguagem da t. de medidas, quando uma propriedade P eh satisfeita em um
conjunto C com possivel excecao de um subconjunto de C que tenha medida
nula, diz-se que P eh satisfeita em quase todo o C. Assim, se f eh
monotonica em I, entao f eh diferenciavel em quase todo o I (e continua
tambem). Em tempo: quando se usa a palavra "medida" sem especificar qual
medida eh, normalmente subentende-se que eh a de lebesgue. Conjuntos de
medida nula sao usualmente denominados de conjuntos nulos. 

3) Sim. A prova disto baseada diretamente na definicao de integral, por
particoes, refinamentos e somas de Riemann, eh um tanto trabalhosa, embora
nao seja dificil (tem em qualquer livro de calculo). Mas se vc considerar o
criterio de Lebesgue para a integrabilidade de Riemann (que nem todo livro
de calculo cita), eh imediato. Segundo este criterio, uma f eh Riemann
integravel em [a,b] se, e somente se, f for limitada em [a,b]e continua em
quase todo [a,b]. Se f eh monotonica em [a,b], entao f eh automaticamente
limitada neste intervalo. E como o conjunto de suas decontinuidades em [a,b]
eh enumeravel, tem medida nula, de modo que f eh continua em quase todo o
[a,b]. Logo, f eh Riemann integravel.
(Detalhe: Eh claro que esta prova simples so eh possivel depois de termos
demonstrado o criterio de Lebesgue - cuja demonstracao nao eh assim tao
imediata....) 
Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Diferenciabilidade de funcoes monotonicas
Data: 26/10/04 13:52

Oi,
Sabemos que se f eh monotonica em um intervalo I,
entao o conjunto das descontinuidades de f em I eh
enumeravel. Eu tenho 3 duvidas:
1) Os pontos de descontinuidade de f em I tem que ser
isolados? Aparentemente sao, mas nao tenho certeza.
2) Existe alguma conclusao que possamos tirar a
respeito do conjuto dos pontos de I nos quais f nao eh
diferenciavel? Ele tambem eh enumeravel?
3) Se I for compacto, entao f eh integravel em I mesmo
que seja descontinua, certo? A prova disto eh simples?

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