Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedor raso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem.
E pra não perder a viagem, aqui vai:
Um dos pontos de partida pra se provar que sen(n) é densa em [-1,1] é provar que a sequência frac(n*a) = n*a - piso(n*a) com a irracional é densa em [0,1].
Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja:
se 0 <= r <= s < 1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número de índices n para os quais 1 <= n <= N e r <= frac(n*a) < s,
então lim(N -> infinito) A(N,r,s)/N = s - r.
Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso?
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 25 Oct 2004 06:13:00 -0700 (PDT) |
| Assunto: |
[obm-l] Sequencia densa em f(I) |
> Oi pessoal,
> Ha algum tempo circulou na lista uma mensagem em que
> se pedia para provar que a sequencia sen(n) era densa
> em [-1, 1]. Alguem comentou (acho que foi o Claudio ou
> algum destes outros profundos conhecedores de Mat) que
> isto eh um caso particular de um teorema geral que diz
> que, se f for continua e periodica em R e seu periodo
> fundamental p for irracional, entao a sequencia f(n)
> eh densa em f(I), sendo I = [0,p] (o que eh o mesmo
> que dizer que f eh densa em f(R)).
> Eu ainda nao consegui provar isto, gostaria de alguma
> ajuda.
> Obrigada.
> Ana
>
>
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