Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 19, 2004 at 02:01:45PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
> do problema 2 do nível U da prova de sábado.
> 
> Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
> (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
> (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.

Este problema como proposto acima é bem malicioso.
Se você estiver interessado em pensar mais sem ver comentário algum,
pare de ler esta mensagem aqui.

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O problema da OBM foi proposto pelo Gugu baseado em um problema que
eu passei em uma prova de teoria dos conjuntos, em um curso que eu dei
há muito tempo. O problema que eu propus foi o seguinte:

Prove que a afirmação abaixo é equivalente à hipótese do contínuo:

  Existe um subconjunto A de R^2 tal que:
  (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
  (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.

Ora, como a hipótese do contínuo é indecidível em ZFC, a existência
de A também é. O que não significa que alguém não pudesse ter pensado
o bastante sobre o problema para dizer: "Ei, isto é equivalente à
hipótese do contínuo!".

Para quem não sabe: a hipótese do contínuo diz que todo subconjunto
infinito não enumerável de R tem a cardinalidade de R.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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