Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma varia��o

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 19, 2004 at 02:01:45PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte varia��o
> do problema 2 do n�vel U da prova de s�bado.
> 
> Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
> (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} � enumer�vel;
> (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) n�o pertence a A} � enumer�vel.

Este problema como proposto acima � bem malicioso.
Se voc� estiver interessado em pensar mais sem ver coment�rio algum,
pare de ler esta mensagem aqui.

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O problema da OBM foi proposto pelo Gugu baseado em um problema que
eu passei em uma prova de teoria dos conjuntos, em um curso que eu dei
h� muito tempo. O problema que eu propus foi o seguinte:

Prove que a afirma��o abaixo � equivalente � hip�tese do cont�nuo:

  Existe um subconjunto A de R^2 tal que:
  (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} � enumer�vel;
  (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) n�o pertence a A} � enumer�vel.

Ora, como a hip�tese do cont�nuo � indecid�vel em ZFC, a exist�ncia
de A tamb�m �. O que n�o significa que algu�m n�o pudesse ter pensado
o bastante sobre o problema para dizer: "Ei, isto � equivalente �
hip�tese do cont�nuo!".

Para quem n�o sabe: a hip�tese do cont�nuo diz que todo subconjunto
infinito n�o enumer�vel de R tem a cardinalidade de R.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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