Re:[obm-l] provar desiguladade

["Osvaldo Mello Sponquiado" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

É verdade!, por algum motivo eu interpretei
'-8xyz' como '+8xyz'.

Tentei fazer novamente. Só que errei em algum lugar. Alguém pode me ajudar ?


Voltando ao problema:

[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2-8xyz+1>=0 

Temos que:

(xy-z)^2=(xy)^2+z^2-2xyz
(xz-y)^2=(xz)^2+y^2-2xyz
(yz-x)^2=(yz)^2+x^2-2xyz

Somando as três eq., vem:

(xy-z)^2+(xz-y)^2+(yz-x)^2=[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]-6xyz>=0

Fazendo k=[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2], temos:

Tese: k+(xyz)^2-8xyz+1>=0 (I)
e sabemos que k-6xyz>=0  (II)

Vamos supor que a tese seja verdadeira, logo:

I-II:(xyz)^2-2(xyz)+1>=0 (III)
Fazendo u = xyz, vem:

u^2-2u+1>=0 => delta=4-4=0, portanto a curva descrita toca o eixo u em um único ponto (ponto em que ocorre a igualdade da inequação), ou seja, para u=2/2=1, ou seja, xyz=1. Para todos os outros u temos que (III) é verificada, logo a hipótese admitida de que (I) é verdadeira é verdade.

Assim concluímos que a igualdade ocorre quando xyz=1.
Fazendo um teste ja vejo que não é bem assim. 

x=1/2
y=2
z=1
(xyz=1)
temos que
1/4+4+1+1/4+4+1+1-8=0 (F)

logo está errado.

Eu creio que a igualdade seja válida apenas quando x=y=z=1, mas não consegui provar.


Além disso, alguém consegue calcular as raízes do polinomio P(x)=3x^2-8x^3+3x^4+x^6+1. As raízes neste caso seriam uma condição para igualdade do problema quando x=y=z.

[]'s
Osvaldo


> > > Dados x,y,z numeros positivos, prove que:
> > >
> > > ((xyz)^(-1))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz >= 8
> >
> >Colocando xyz>0 em evidência nas parcelas dos dois membros, temos:
> >
> >1+[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2>8xyz<=>
> >[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2-8xyz>-1
> >
> >
> >O primeiro membro é totalmente positivo, logo é mair do que -1.
> >
> >Atenciosamente,
> >
> >Osvaldo Mello Sponquiado
> >Engenharia Elétrica, 2ºano
> >UNESP - Ilha Solteira
> >
> >
> o primeiro membro nao eh totalmente positivo ... basta jogar x=y=z=1 onde a 
> igualdade da inequação se verifica !
> []`
> Daniel Regufe
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Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
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