Re: [obm-l] Re:Demonstrar Desigualdade

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Edward Elric wrote:

> Esqueci de dar as restriçoes: a>0 ,b>0, p>1.
> 
> A passagem que voce usou medias só é valida se p e q pertencem ao 
> conjunto dos naturais, mas isso não é obrigatoriamente verdade.

	Ah, tem razão, mas acho que dá pra consertar. Se eu mostrar
que vale pra todos p e q racionais, então vale pra todos os
reais também, certo? É só tomar no limite intervalos de racionais
cada vez mais fechados. Então resta provar que vale pros racionais.
Seja p=c/d e q=e/f. Vou usar as médias de novo, dessa vez tomando
"ed" vezes a^p, e "fc" vezes b^q:

	(ed(a^p)+fc(b^q))/(ed+fc) >= ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ed+fc))

	Como 1/p+1/q=1, então d/c+f/e=1 e de+fc=ce. Daí:

	(ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ce))

	Mas ped=(c/d)ed=ce, qfc=(e/f)fc=ec, então:

	(ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ((a^ec)(b^ec))^(1/(ce))
	(ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ab

	Agora ed/ce=d/c=1/p, fc/ce=f/e=1/q, por fim:
	(1/p)(a^p)+(1/q)(b^q) >= ab

	QED

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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