[obm-l] Parcelas de 1998

[Faelccmm@xxxxxxx]

Olá pessoal !

Abaixo esta um problema e sua solução. Tive dúvidas em algumas passagens.

Passagem 01)

(i) se n (n > 4) é par, temos (n/2)*(n/2) > n
(ii) se n (n > 3) é ímpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) > n 

Eu entendi as desigualdades acima, mas não entendo qual a relação dela com o problema. Por que o autor da solução as criou ? 

Passagem 02)

Com as observações (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} ...

Eu até entendo que (i) U (ii) = (n >= 5), mas não entendi a afirmação acima ?!

***************************************************************************************************************************
Escreva 1998 como soma de (um número arbitrário de) parcelas
de modo que o produto das parcelas seja o maior possível.


SOLUÇAO:

Observe inicialmente que, dado n pertencente a N,

(i) se n (n > 4) é par, temos (n/2)*(n/2) > n
(ii) se n (n > 3) é ímpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) > n

Sejam 1998 = n_1 + n_2 + n_3 + … n_k e
P = n_1*n_2*n_3*n_k

Com as observações (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} e como 4 = 2*2
podemos substituir 4 por "2 + 2" e teremos n_i pertencente a {1, 2, 3} logo P = [1^(alfa)]*[2^(beta)]*[3^(gama)]. É evidente que alfa = 0, pois se alfa = 1, “1+2” pode ser substituído por um 3 e "1 + 3" pode ser substituído por "2 + 2". Também beta =< 2, pois "2 + 2 + 2" pode ser substituído por "3 +3" ( 3*3 > 2*2*2) e conseqüentemente 
P = [2^(beta)]*[3^(gama)] com (beta = 1 ou 2). Como 1998 = 3*666 + 0,
P = 3^666 e S = 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 (666 vezes)