Re: [obm-l] PROBLEMAS QUE ME DEIXAM LOOOOOOOOOUCO!!!!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] PROBLEMAS QUE ME DEIXAM LOOOOOOOOOUCO!!!!

on 08.10.04 13:46, Alan Pellejero at mathhawk2003@yahoo.com.br wrote:

> Pessoal, tenho essas duas pérola que me tiram o sono há tempos e gostaria de compartilhar com vocês!
>
> (1) calcule x tal que 
>
> 2 ^ [ ( x ^ 2 ) - 2 ] - 5 * ( 2 ^ x ) + 2 = 0
>
> Essa equacao tem 2 solucoes, uma das quais eh -1, achada por inspecao.
> A outra eh muito provavelmente irracional e vale cerca de 2,61530987...
>
> A fim de provar que estas sao as unicas solucoes, derivamos f(x) = 2^(x^2 - 2) - 5*2^x + 2, obtendo:
> f'(x) = ln(2)/2*(x*2^(x^2) - 10*2^x)
> f'(x) = 0 ==> 2^(x^2-x) = 10/x   (#).
>
> Para x <= 1, f'(x) eh claramente negativo e para x >= 3, claramente positivo.
> Alem disso, para x > 1, o lado esquerdo de (#) eh crescente enquanto o lado direito eh decrescente.
> Em suma, f'(x) tem uma unica raiz ==> 
> f(x) tem no maximo duas raizes ==>
> f(x) = 0 tem exatamente as duas solucoes acima
>
> *****
>
> (2) Um rapaz foi comprar um presente e levou $1.200,00. Quando lhe perguntaram quanto custou o presente, ele disse:
> " Sobrou troco, mas não direi quanto e nem o valor do presente. Digo apenas que o troco do presente, sendo lido ao contrário, é o valor de 9 presentes. Quanto custou o presente?
>
> Seja P o valor do presente.
>
> Se o troco tiver 1 ou 2 algarismos, entao o presente terah custado pelo menos $1101 e um numero de 1 ou 2 algarismos nao pode ser igual a 9 vezes um numero superior a $ 1100. Logo, o troco deve ter 3 ou 4 algarismos.
>
> Suponhamos que o troco tenha 3 algarismos. 
> Chamemos esse troco de 100A + 10B + C, onde A, B e C sao algarismos.
>
> Entao:
> P + 100A + 10B + C = 1200
> 100C + 10B + A = 9P
>
> Subtraindo a segunda equacao da primeira e rearrumando, obtemos:
> 10P + 99(A - C) = 1200 ==>
> 10 divide A - C ==>
> A = C ==>
>
> P + 101A + 10B = 1200
> 101A + 10B = 9P ==>
>
> 10P = 1200 ==>
> P = 120 ==>
> T = 1080, um numero de 4 algarismos ==> 
> contradicao ==>
> o troco nao possui 3 algarismos ==>
>
> o troco terah necessariamente 4 algarismos: 1000A + 100B + 10C + D, onde jah sabemos que  A = 1  e  B = 0 ou 1  pois o troco eh inferior a $1200.
>
> P + 1000A + 100B + 10C + D = 1200
> 1000D + 100C + 10B + A = 9P ==>
>
> 10P + 999(A - D) + 90(B - C) = 1200 ==>
> 10 divide A - D  ==>
> A = D = 1 =>
>
> P + 1001 + 100B + 10C = 1200
> 1001 + 100C + 10B = 9P ==>
>
> P + 10C = 199 - 100B
> P - 9C = 120 - 9B
>
> Caso 1: B = 0 ==>
> P + 10C = 199
> P - 9C = 120 ==> 
> C = 79/19 <> inteiro ==> 
> contradicao
>
> Caso 2: B = 1 ==>
> P + 10C = 99
> P - 9C = 111 ==>
> C = - 21/19 < 0 ==>
> contradicao 
>
> Conclusao: o problema nao tem solucao.
>
> OBS: Se o presente custar $120, o troco serah $1080 = 9*$120, soh que o enunciado fala no troco lido de tras pra frente.
>
>
> []s,
> Claudio.