Re: [obm-l] Mais um problema legal

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 12.10.04 19:07, benedito at benedito@digizap.com.br wrote:

> 
> Segue mais um problema interessante (Agora com o problema. Desculpem a
> falha).
> Benedito Freire
> 
> PROBLEMA
> 
> Sem levar em consideração a ordem, de quantas maneiras podemos expressar
> 2002  como soma de  3  inteiros positivos?
> 
> (Atenção: 1000 + 1000 + 3 = 2002   e  1000 + 2 + 1000 = 2002  não são
> consideradas maneiras distintas de expressar  2002  como soma de inteiros
> positivos)
> 
> 
> 
Uma ideia eh separar os dois casos:
A + A + B = 2002 com A <> B
e 
A + B + C = 2002 com A < B < C.

O primeiro caso eh facil. Obviamente B terah de ser par e as solucoes serao:
A = 1000, B = 2
A = 999, B = 4
...
A = 1, B = 2000
Ou seja, teremos 1000 particoes distintas de 2002 nas quais duas parcelas
sao iguais.

No segundo caso, calculemos inicialmente o numero de solucoes inteiras e
positivas da equacao A + B + C = 2002.
Como todo mundo sabe, esse numero eh Binom(2001,2) = 2.001.000.

Dentre estas, o numero de solucoes onde A = B, A = C ou B = C eh igual a
3*1000 = 3000.

Subtraindo essas 3000 solucoes do total achado acima, obtemos 1.998.000
solucoes em que A, B e C sao mutuamente distintos.

Como ordem nao eh importante, precisamos dividir este numero por 3!, obtendo
333.000 particoes de 2002 em tres parcelas distintas.

Juntamente com as 1000 particoes com duas parcelas iguais, achamos um total
de 334.000 particoes de 2002 em tres parcelas.


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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