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Re: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Acho que uma resposta geral aa sua pergunta eh dificil. No caso da sequencia
que ciculou na lista, era, de fato, essencial provar que a mesma era
convergente antes de de resolvermos a equacao f(x) = x. Mas isto nao eh um
conceito "superior", eh algo basico para que estuda sequencias.
O que se costuma chamar de artificio eh um processo, envolvendo manipulacoes
algebricas, que permite resolver algum problema de forma rapida. O nome
artificio vem de artificial, o que me parece uma denominacao infeliz. Como
podemos definir o que eh natural e o que eh artificial? O importante eh que
qualquer processo tem que ser matematicamente consistente e soh pode ser
aplicado se houver comprovacao matematica de que leva aos resultados
desejados. O problema eh que algumas vezes se aplicam estes processos
chamados de artificios a situacoes e que eles nao soa validos.
Quanto a se eh possivel resolver um problema sem recorrer a a conceitos de
nivel superior, temos antes de mais nada que estabelecer o que eh conceito
de nivel superior. Eh dificil dar uma resposta geral. As vezes eh possivel,
dependendo do que se considera como superior. Por exemplo, eh possivel
demonstrar recorrendo apenas aa Algebra, sem calculo diferencial, que
trinomios do segundo grau tem um unico maximo ou um minimo, assim como eh
possivel soh com a Algebra determinar para que valor ocorre este maximo ou
minimo. Eh bem mais complicado do que com o calculo - com o qual a solucao
eh imediata -, mas eh possivel.
Mas soh com a Agebra me parece dificil mostrar que f(x) = x*e^x tem um
minimo em x=-1.
Artur
--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
Data: 08/10/04 19:29
Para Claudio, e os amigos da lista
Há pouco tempo enviei a solução abaixo e vc disse que
soh estaria correta se soubesse que a serie realmente
convergia. Corcordei plenamente, mas por outro lado
fiquei pensando, pois esta questão e outras parecidas
com ela (tipo x^x^x... = sqrt2) são questões que jah
cairam no vestibular do ime, e a resolução apresentada
foi justamente essa por "artifíco". Pergunta existiria
uma maneira de resolvê-las sem usar conceitos de nivel
superior?
[]s
Outra soluçao:
x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+... (*)
Seja u = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
Note que (*) pode ser reescrita como:
x = sqrt (u +2) e portanto:
x = sqrt (x + 2)
Elevando ambos os membros ao quadrado e resolv. a eq.
do segundo grau , obtemos as raizes 2 e -1.
Portanto a soluçao eh dois.
[]s
---------- Início da mensagem original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Wed, 6 Oct 2004 18:18:15 -0300
Assunto: [obm-l] raiz(2+raiz(2+raiz(....
> Seja (x(n)) a sequência definida por:
> x(1) = raiz(2)
> x(n+1) = raiz(2 + x(n)), para n >= 1.
>
> 1. (x(n)) é limitada:
> Basta provar que x(n) < 2, para todo n.
> Para n = 1 é óbvio.
> Supondo que x(n-1) < 2, teremos que x(n) = raiz(2 + x
(n-1)) < raiz(2 + 2) = 2 e acabou.
>
> 2. (x(n)) é monótona crescente:
> Obviamente os x(n) são todos positivos.
> Assim, basta mostrar que x(n+1)^2 > x(n)^2.
> Mas x(n+1)^2 - x(n)^2 = 2 + x(n) - x(n)^2 > 0 para 0
< x(n) < 2.
>
> (1) e (2) implicam que (x(n)) converge. Seja x = lim x
(n).
>
> Então, x^2 = 2 + x ==> x^2 - x - 2 = 0 ==> x = 2 ou x
= -1.
> A raiz negativa deve ser descartada pois cada x(n) é
positivo.
>
> Assim, só pode ser lim x(n) = 2.
>
> []s,
> Claudio.
>
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Cópia:
>
> Data:Wed, 6 Oct 2004 16:59:33 -0300
>
> Assunto:[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Exercício
>
>
>
> > > x = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> > >
> > > x^2 = 2 + sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> > > x^2 - 2 = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> > >
> >
> >
> > Nesta etapa aqui eh necessario a analise da
convergencia de sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...
> > Certamente convergira, alguem sabe para qual numero
isto converge ?
> > > x^2 - 2 = x
> > > x^2 - x - 2 = 0
> > >
> > >
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