Re: [obm-l] Teoria Grupos/Polin�mios

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Vou ajudar no primeiro exerc�cio (at� pq eu n�o estudei an�is ainda):

>1) Seja (G,*) um grupo com um n�mero (finito) par de
>elementos. (|G|=numero de elementos de G=2*k)
>1.a) Mostre que existe um g em G tal que g != e (g �
>diferente da identidade do grupo) e g*g = e.

Fa�a G' = G \ {e}. |G'| � portanto �mpar. Atrav�s de um argumento
combinat�rio (levando-se em considera��o a unicidade do inverso) vc chega no
resultado.

>1.b) Mostre que se o gupo tiver 2*(2k+1) elementos (2
>vezes um n�mero �mpar) e G for um grupo abeliano ent�o
>o elemento do item anterior � �nico.

Se houvesse mais de um elemento assim, pegue dois deles (a e b) e observe
que {e, a, b, ab} � subgrupo de ordem 4, imposs�vel pelo teorema de Lagrange.

>1.3) � poss�vel concluir o item b se o grupo n�o for
>abeliano?

N�o. Contra-exemplo: qualquer grupo n�o-abeliano de ordem 6. Mais
especificamente, use o S_3 (todo outro � isomorfo a ele).


[]s,
Daniel

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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