Re: [obm-l] Álgebra/Monomorfismo CorposPrimos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.10.04 17:06, lgita-2002 at lgita-2002@bol.com.br wrote:

> Alguém saberia esclarecer esta sutileza:
> 
> 1)Seja K é um corpo de característica p>0. Se f:K->K, f
> (x)=(x)^{p} para todo elemento de K então f é um
> monomorfismo.
> 
> Pensei ter entendido satisfatoriamente a demonstração
> mas, lendo um pouco mais me deparei com:
> 
> 2)Se K é um corpo primo e f é um monomorfismo então
> f(x)=x.
> 
> Qual a sutileza? As duas afirmações acima me parecem
> contraditórias se o corpo for de caracterísitca p>0!
>
A sutileza eh que, em Z_p, x^p = x (isso nada mais eh do que o pequeno
teorema de Fermat).
 
> Em 2) eu conseguir porvar a identidade apenas no caso
> do corpo primo ter característica zero (isomorfo a Q).
> Minha demonstração está abaixo. Alguém poderia me
> ajudar com o caso de corpo de característica p>0??
>
O corpo primo de caracteristica p eh Z_p.
Basta ver que, como f eh um monomorfismo, teremos:
f(0) = 0,
f(1) = 1,
f(2) = f(1+1) = f(1)+f(1) = 1+1 = 2
...
f(p-1) = f((p-2)+1) = f(p-2)+f(1) = (p-2)+1 = p-1

[]s,
Claudio.

> Sei que essencialmente existem apenas dois corpos
> primos: Q (racionais) e Z_{p}.
> 
> Para demonstrar em Q que f(q)=q fiz:
> f(1)=1,
> f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2
> Por indução
> f(m)=m;
> 
> Ainda se n é diferente de zero temos que
> f(n)!= 0 (diferente de zero) pois f é monomorfismo;
> Assim, seja n um inteiro nao-nulo:
> 1=f(1)=f(n*n^(-1))=f(n)*f(n^(-1)) ->
> f(n^(-1))=f(n)^(-1)
> Mas f(n)=n se n é inteiro => f(n^(-1))=1/n
> 
> Portanto, se f(m/n)=m/n o que termina a demonstraçao
> no caso do corpo ter caracteristica zero (isomorfo a Q)
> 
> Para o caso de corpos de característica p>0 não
> consegui concluir nem perceber a sutileza com relação
> a afirmação 1.
> 
> Um abraço,
> Luiz Gustavo
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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