Re: [obm-l] Provando que n^(1/p) eh irracional

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Ana,

Lendo sua pergunta, me ocorreu a seguinte prova, que acho que nao eh muito
difundida. 
Temos que n^(1/p) eh raiz do polinomio P dado por P(x) = x^p - n, cujos
coeficientes sao reais inteiros. Se r eh racional, entao existem inteiros q1
e q2<>0, primos entre si, tais que r = q1/q2. O teorema das raizes racionais
nos diz entao que, se r eh raiz de P, entao q1 divide -n e q2 divide 1.
Neste caso, temos entao, necessariamente, que q2 = 1 ou q2= -1, o que
signfica que r = + ou - q1 eh e que r eh, portanto, um numero inteiro,
divisor de n. Mas, por hipotese, nao existe nenhum inteiro q1 tal que q1^p =
n, o que nos mostra que nenhum real racional pode ser raiz de P. Como
n^(1/p) eh, efetivamente, uma raiz real de P, segue-se necessariamente que
n^(1/p) eh irracional.

Vc acha que esta prova permite ver melhor o que estah acontecendo?

Observe que seria perfeitamente possivel manobrar as palavras de modo que
esta mesma prova fosse por contradicao. Assim como tambem seria possivel
manobrar as palavras de modo que as provas que vc citou nao fossem por
contradicao.... Muitas vezes o que faz com que uma prova seja por
contradicao, contraposicao, ou uma prova direta eh apenas a forma segundo a
qual se colocam as palavras. Por exemplo, a prova do teorema de Euclides da
infinitude dos primos eh usualmente apresentada por contradicao. Assume-se
que existem um numero apenas finito de primos e chega-se a uma contradicao,
geralmente a de que um primo p divide 1.  Entretanto, utilizando-se
exatamente os mesmos argumentos logicos, poderiamos modificar um pouco as
palavras e mostrar que com um conjunto finito de numeros primos nao
conseguimos expandir em fatores primos a totalidade dos numeros inteiros.
Como o T. Fundamental da Aritmetica garante que isto eh possivel,
concluimos, sem recorrer a contradicao, que tem que existir uma infinidade
de numeros primos.
E assim como este, hah muitos de teoremas na matematica cujas provas sao ou
nao por contradicao dependendo apenas de como se colocam as palavras.    

Artur 

--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Provando que n^(1/p) eh irracional
Data: 07/10/04 15:25

Oi,
Sabemos que se n>1 e p>1 sao inteiros tais que n nao
eh uma potencia perfeita de p, entao n^(1/p) eh
irracional. Eu conheco uma prova deste fato baseada em
contradicao, a qual vem a ser uma extensao daquela
classica prova de que raiz(2) eh irracional.
Admitindo-se que n^(1/p) seja racional e sendo q1 e
q2<>0 inteiros primos entre si tais que q1/q2 =
n^(1/p), acabamos chegando aa contradicao de que q1 e
q2 tem divisores comums diferentes da unidade.
Minha pergunta: serah que existe alguma outra prova
que nao se baseie em contradicao e permita sentir
melhor o porque de tal fato? 
Obrigada.
Ana

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