Re: [obm-l] Intervalos

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>Okay!
>valeu pela ajuda Artur.
>Até mais.

Tamos aih (na medida de meus parcos conhecimentos)

Caso vc naum tenha aa mao um livro de Analise, vou dar aqui a prova classica
to teorema da continuidade uniforme, no caso geral. Suponhamos que f seja
continua em um conjunto compacto de  R^n e tenha valores em R^m. Seja eps>0
arbitrariamente escolhido. A continuidade de f implica que, para cada x de
D, exista uma bola aberta B_x, centrada em x e de raio r_x, tal que |f(y) -
f(x| < eps/2 para todo y em D inter Bx. Eh imediato que a colecao de bolas
(B_x} cobre D. Embolotando D mais um pouquinho, vamos considerar a colecao
{G_x}, das bolas abertas centradas nos ekementos x de D e de raio r_x/2. Eh
claro que {G_x} tambem cobre D. Como D eh compacto, D pode ser embolotado
(coberto) por uma subcolecao finita } de (G_x}. Seja r =
(1/2)*minimo(r_x1....r_xn}. Entao, para cada i=1,...n temos 0< r <=(r_x1)/2.
Vamos mostrar que este r satisfaz aa condicao de continuidade uniforme. 
Sejam  x e y elementos de D tais que |x-y| < r. Em virtude da nossa
embolotacao de D por {G_x1,...G_xn}, para algum inteiro 1 <= i <= n, temos
que x pertence a G_xi. Logo |x - x_i| < r_xi/2. Aplicando a desigualdade do
triangulo, chegamos a |y - x_i| <= |y -x| + |x - x_i| < r + r_xi/2 <= r_xi/2
+ r_x_i/2 = r_xi, do que deduzimos que y esta em Bxi. Como G_xi esta contida
em B_xi, vemos que x e y estao nesta ultima. E da definicao da embolotacao
{B_x}, temos que |f(x) - f(x_i| <eps/2 e que |f(y) - f(x_i| <eps/2.
Aplicando-se novamente a desigualdade do triang. chegamos a que |f(y) -
f(x)| < eps. 
Para todo eps>0, podemos, portanto, escolher um r >0 tal que |f(y) - f(x)<
eps para todos x e y de D tais que |x-y| < r. Justamente a definicao de
continuidae uniforme.
O segrdo deste prova eh embolotar convenientemente o conjunto D.
Artur     

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