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Seja:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Você quer:
S = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a + b + c + d)^2 - 2 * (ab + ac + ad + bc + bd + cd)
Como 1 é raiz, a soma dos coeficiente é zero, portanto:
S = -2*(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
Bom, achei que ficou meio trabalhosa minha resolução, talvez tenha alguma sacada que esqueci ou não sei, mas aí vai.
As raizes que temos no enunciado são 1 e 1 + sqrt(2). Consequentemente 1 - sqrt(2) também é raiz, já que os coeficientes são reais.
Agora fui por Girard:
-b/a = 1 + 1 + sqrt(2) + 1 - sqrt(2) = 3
b/a = -3 .:. b = -3a
Daqui já podemos tirar a=1, já que a e b não tem fatores primos em comum e sua divisão é igual a um inteiro.
b = -3
c/a = c = 1[1+sqrt(2)] + 1[1-sqrt(2)] + [1+sqrt(2)][1-sqrt(2)] = 1
c = 1
-d/a = 1[1+sqrt(2)][1-sqrt(2)] = 1 - 2 = -1
d = 1
Logo:
S = -2 * (ab + ac + ad + bc + bd + cd)
S = -2 * (-3 + 1 + 1 - 3 - 3 + 1)
S = -2 * (-6)
S = 12
Confira aí
Abraços
Ariel -------Original Message-------
From: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: 09/30/04 05:03:09
To: obm-l
Subject: [obm-l] Como resolver este problema? Este problema foi do vestibular da UFPE na famosa prova
de Matemática3
Gostaria que alguém tentaçe resolver e mandasse a
resolução
Seja p(x) um polinômio de grau 3, com coeficientes
inteiros e dois a dois sem fatores primos
comuns, tendo 1 e 1 + 2 como raízes. Indique a soma dos
quadrados dos coeficientes de p(x).
obs: o número dois na verdade é raiz quadrada de dois é
pq eu não sei botar raiz
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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