Re: [obm-l] Combinatória

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Sep 25, 2004 at 07:28:32PM -0400, Faelccmm@aol.com wrote:
> Olá pessoal,
> 
> É sabido, por várias formas, como calcular equações do tipo:
> x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que 
> 0 =< x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] =< k, ou seja, as incógnitas são 
> naturais.
> 
> Pergunta:
> 
> Vocês conhecem a fórmula para resolver
> 
> x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que 
> 
> 0 =< x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] =< a (a < k) ?
> 
> Um exemplo do caso geral acima :
> 
> Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o maior valor que as incógnitas podem 
> assumir seja 9, ou seja, 
> 0 =< x, y, w, z =< 9

Eu acho que a pergunta não está muito bem formulada. Eu adivinho que você
quer saber *quantas* soluções *inteiras* a equação tem. É isso? Se for,
não é difícil.

O número de soluções de x1 + x2 + ... + xn = k, xi >= 0 é binom(k+n-1,n-1).
Agora é só fazer inclusão e exclusão: o número de soluções de
x1 + x2 + ... + xn = k, xi >= 0, x1 >= b é binom(k-b+n-1,n-1):
basta fazer y1 = x1 - b e considerar o problema y1 + x2 + ... + xn = k - b.
Assim, para calcular o número de soluções com 0 <= xi < b precisamos tirar 
fora estas soluções, com o cuidado usual do somar de volta o que for excluído
duas vezes e assim por diante:
binom(k+n-1,n-1) - n*binom(k-b+n-1,n-1) + binom(n,2)*binom(k-2b+n-1,n-1) -...
= Soma_{i >= 0} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n - 1)

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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