Re: [obm-l] Soma de Dígitos

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

seja r um número inteiro.
como 9 + 1 = 10, se a representação de r em base 10 é r = d_k d_{k-1} 
... d_0, temos,
r = d_0 + (9 + 1) d_1 + (9 + 1)^2 d_2 + .... + (9 + 1)^k d_k.
ou seja, 9 | r se e somente se 9 | d_0 + d_1 + ... + d_k.

vamos dividir os números com a propriedade do enunciado em duas categorias:
1- os números só possuem dígitos 0 ou 1, por exemplo, se n = 4, 0999, 
9099, 9909, 9990 tem soma dos dígitos 9(4 - 1), analogamente, temos
0099, 0909, 0990, 9009, 9090, 9900 com soma dos dígitos 9(4 - 2).
é simples argumentar que há mais números desse tipo com soma dos dígitos 
9(n-2).

2- se r é um número que não tem apenas dígitos 0's e 9's e a soma de 
seus dígitos é 9(n-1), então todo dígito de r deve ser não nulo.
se n >= 9, podemos reduzir em um os 9 primeiros dígitos de r, isso nos 
dá um número r', que tem soma dos dígitos 9(n-2).
mostre que isto é, de fato, um mapa injetivo, e que nenhum elemento é 
mapeado a um número de categoria 1 (isso é simples), isso mostra que a 
quantidade de números de categoria 2 com soma dos dígitos igual a 9(n-1) 
não pode ser maior do que a quantidade de números de categoria 2 com 
soma dos dígitos igual a 9(n-2).

ah, esse argumento só vale pra n >= 9, tente adaptá-lo para n menor.

espero que não tenha sido confuso demais!

[ ]'s

>>
>> Olá pessoal,
>>
>> O problema abaixo já passou pela lista, mas a solução envolvia 
>> derivadas. Vocês poderiam resolvê-lo sem utilizar conceitos de nível 
>> superior ?
>>
>>
>> 1) Seja n um número natural, n >3.
>> Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais 
>> números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a 
>> soma de seus dígitos igual a 9(n-1).
>>
>>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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