[obm-l] Re: [obm-l] Extensão contínua do domíno de uma função

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Continuidade uniforme em D naum eh mesmo necessaria neste caso.

Seja D* o fecho de D. Para cada x em D*, definamos f* por f*(x) = f(x), se x
pertence a D, e f*(x) = lim (y =>x) f(y), caso contrario. Observamos que,
neste ultimo caso, x eh ponto de acumulacao de D. 
Se x for ponto de acumulacao de D, a continuidade de f* em x exige entao que
o limite de f* em x quando y=> x por valores pertencentes a D iguale-se a
f*(x). Logo, este definicao de f* eh a unica que pode atender ao desejado.
Concluimos assim que, se a extensao mencionada existir, ela eh unica e
corresponde aa definicao dada para f*. 
Para mostrarmos que f* eh continua em x pertencente a D*, consideremos uma
sequencia qualquer {x_n} em D* que convirja para x. Se x_n, n>=1, for ponto
de acumulacao de D, entao a bola aberta de centro em x_n e raio 1/n contem
uma infinidade de elementos  de D. A existencia do limite de f em x_n e a
nossa definicao de f* implicam, entao, a existencia de uma infinidade de
elementos y de D pertencentes aa citada bola que satisfazem a |f(y) -
f*(x_n)| = |f*(y) - f*(x_n)| < 1/n. Logo, podemos escolher y_n em D tal que
|y_n - x_n| <1/n (1) e |f*(y_n) - f*(x)| < 1/n (2).
Se x_n nao for ponto de acumulacao de D, eh imediato que y_n = x_n satisfaz
a (1) e (2). Assim, para todo n>=1 existe y_n em D que satisfaz
simultaneamnete a (1) e a (2).
(1) e (2) implicam respectivamente que (y_n - x_n) => 0 e que (f*(y_n) -
f*(x_n))=> 0, pois (1/n) => 0. Como (x_n) => x, segue-se que (y_n) => x e
que, portanto, (f(y_n)) = (f*(y_n)) => f*(x), em virtude da continuidade de
f em x ou da existencia de seu limite em x e de nossa definicao de f*. Como
f*(y_n) - f*(x_n))=> 0, temos entao que (f*(x_n) => f*(x). Como (x_n) eh
arbitraria, concluimos que f* eh continua em todo x de D*, logo continua em
D*.

Um outro teorema - que naum eh o que acabamos de ver -, valido no caso em
que f eh uniformemente continua em D, diz que, neste caso, f possui uma
unica extensao uniformemente continua para o fecho de D. Estes dois teoremas
valem em qualquer espaco metrico.

Artur 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Extensão contínua do domíno de uma função
Data: 20/09/04 11:51

Oi
Eu gostaria de uma sugestão para provar a seguinte
afirmação:

Seja f definida em um subconjunto D de R^n e com
valores em R^m. Suponhamos que f seja contínua em D e
que apresente limite em todos os pontos de acumulação
de D. Então, f tem uma única extensão contínua para o
fecho de D.

Eu acho que consegui provar supondo continuidade
uniforme em D, mas o enunciado, de fato, apenas
pressupõe continuidade.

Obrigada. Ana

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