Re: [obm-l] limites iterados

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, eu acho que você entendeu o suficiente de limite para ter a idéia
certa, mas apenas faltou "traduzir" o desenho em epsilons e deltas.

Uma idéia é a seguinte: você quer provar que lim y->b g(y) = L, então
basta calcular a diferença g(y) - L e ver se ela vai dar pequena o
suficiente para y suficientemente próximo de b. Com isto, prova-se a
existência e o valor do limite.
Vamos achar delta para que | g(y) - L | < eps quando | y - b | < delta

A idéia para provar isso será de fazer primeiro g(y) bem proximo de
f(x,y), e depois aproximar g(y) de L pela desigualdade triangular,
pois f(x,y) estará (se tudo der certo) perto de L. Esta tática é muito
usada para resolver este tipo de problemas de limites e coisas
parecidas.

Tome, então, delta "1" (vou usar d1) para que | f(x,y) - L | < eps/2
para | (x,y) - (a,b) | < d1
Tome, em seguida, d2 tal que | f(x,y) - g(y) | < eps/2 para | x - a |
< d2 (esta é a existência do segundo limite)
Fazendo g(y) - L = g(y) - f(x,y) + f(x,y) - L e separando os termos,
temos, pela desigualdade triangular, | g(y) - L | <= | g(y) - f(x,y) |
+ | f(x,y) - L | < eps/2 + eps/2 = eps, sempre que
1- |x-a| < d2
2- |(x,y) - (a,b)| < d1

Ora, as duas ocorrem quando |y-b| < (d1)/2 e |x-a| < min{d2, (d1)/2},
e portanto podemos escolher delta igual a (d1)/2 que teremos garantido
que podemos escrever as duas desigualdades < eps/2 (o passo
fundamental)

E isso.

Qualquer coisa, pergunte
Bernardo Costa

On Sun, 19 Sep 2004 14:10:58 -0300, Eric <mathfire@ig.com.br> wrote:
> Ola
> 
> Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
> seguinte resultado sobre limites iterados:
> 
> Se lim f(x,y) = L quando (x,y) -> (a,b) e se
> existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x -> a
> e h(x) = lim f(x,y) quando y -> b entao
> lim (  lim f(x,y)) = L
> y->b  x->a
> 
> Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro
> de Calculo de Tom Apostol, volume 2.
> 
> Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
> modos e cada prova que conseguia
> tinha algum erro que a invalidava.
> 
> Ninguem da turma fez e a professora falou
> que realmente nao tinhamos entendido limites.
> 
> -----
> Uma ideia que tive foi:
> 
> Como existe o limite bidimensional entao,
> por definicao, para todo eps>0, existe d>0
> tal que
> 
> [1] ----- 0<||(x,y)-(a,b)||<d implica em
> [2] ----- |f(x,y)-L|<eps.
> 
> Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
> lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
> x->a
> [L - eps, L + eps]
> sempre que 0<|y-b|<d
> Nao sei provar isto, principalmente a parte do
> 'sempre que', alguma dica? Fazendo
> uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
> porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
> ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
> deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
> 
> Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
> sempre que 0<|y-b|<d eh afirmar que
> 0<|y-b|<d acarreta |g(y)-L|<eps,
> que significa que
> lim g(y) = L
> y->b
> 
> isto eh
> 
> lim (  lim f(x,y)) = L
> y->b x->a
> 
> que eh o que quero mostrar.
> 
> -----------
> Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
> encontrar essa demonstracao na WWW.
> 
> [ ]'s
> 
> Eric
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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