[obm-l] RE: [OBM-2004]

[Marcelo Ribeiro <obml2003@xxxxxxxxxxxx>]

Eu fiz de outra forma. Não vou expandir as contas, pq nem na prova eu fiz isso pq eram muito feias =|

 

ora, a inclinação da reta tangente à curva é dy/dx(x)=12x^3-12x^2. Então, suponhamos que exista tal reta que tangencie a curva em 2 pontos distintos. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) estes pontos. Logo,as retas tangentes a esta curva nestes pontos são dadas por

 

r1: y=(12x1^3-12x1^2)x+8x1^3-9x1^4

r2:y=(12x2^3-12x2^2)x+8x2^3-8x2^4

 

Basta agora, obrigarmos elas a serem iguais. obviamente devemos descartar a hipótese x1=x2 (pq se não, não seriam pontos distintos!).

 

Resolvemos o sistema

12x1^3-12x1^2=12x2^3-12x2^2

8x1^3-9x1^4=8x2^3-9x2^4

 

Este sistema parece um tanto braçal, mas cortando apropriadamente as coisas, ficamos com um sistema simples com equações simétricas. Bom, eu achei números "horrorosos" como resposta para a solução do sistema e ainda tinha que substitui-los na equação linear (que dá pra ver que não é muito agradável, pq tem que elevar a quarta potencia...) (hehehe)...não sei se errei em alguma conta, mas parece estar certa a forma de resolver, pq fiz no Maple e mandei ele reduzir tudo como fraçoes...e a resposta deu, -8/9 e -4/27 que é a resposta certa...

é isso...

[]'s, Marcelo

João_Gilberto_Ponciano_Pereira <jopereira@vesper.com.br> wrote:

Seja f(x) = 3(x^4) - 4(x^3) e g(x) = Ax + B
traçando as duas equações em um gráfico, fica evidente que f(x) - g(x) gera
um terceiro polinômio de grau 4 com 2 pares de raízes iguais. Em outras
palavras:
3x4 - 4x^3 - Ax - B = M (x - N)^2 (x-O)^2

Expandindo a segunda parte e igualando aos coeficientes dos polinômios,
temos que:
em x^4: M = 3
em x^3: M(-2O - 2N) = -4
em x^2: M(O^2 + N^2 + 4ON) = 0

em x^1: -A= M (-2 N^2 O - 2 N O^2)
em x^0: -B = M (N^2 O^2)

Com as 3 primeiras equações, obtém-se os valores de M, O e N e nas duas de
baixo os valores de A e B.

SDS
JG

-----Original Message-----
From: Guilherme Pimentel [mailto:guigousrj@globo.com]
Sent: Monday, September 13, 2004 4:50 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] obm 2004?



Determine a equação da reta que tangencia a curva de equação
y = 3(x^4) - 4(x^3) em dois pontos distintos.

esta estava na obm deste ano?

Qq ajuda é bem vinda.

[]'s Guilherme


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