Aqui vao dois problemas que estao me dando uma canseira:
1) Sejam A (mxn) e B (nxm) duas matrizes, com m >= n.
Sejam Pab(x) e Pba(x) os polinomios caracteristicos de AB e BA,
respectivamente.
Prove, sem usar determinantes, que: Pab(x) = x^(m-n)*Pba(x).
2) Prove que existe um inteiro positivo k tal que, para todo n >= 1, o
numero k*2^n + 1 eh composto.
No primeiro eu consegui provar que k eh autovalor de A <==> k eh autovalor
de B e que deve realmente existir o termo x^(m-n), mas nao consegui mostrar
que as multiplicidades dos autovalores sao iguais.
No segundo, eu acho que eh preciso encontrar primos p1, p2, ..., pr tais que
pelo menos um deles divide k*2^n + 1, para cada n. Estou convencido de que o
teorema chines dos restos deve ser usado em algum lugar, mas nao consegui
nada de muito substancial.
Qualquer ajuda serah bem-vinda.
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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