[obm-l] Re: [obm-l] fórmula de transformação da soma em produto

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

A forma mais usual de de fazer isto eh c base no circulo trigonometrico,
usando aquelas formulas de rotacao de eixos coordenados.
Entretanto, se vc definir o seno e o cosseno atraves de series de potencias
e souber suas derivadas e e suas propriedades fundamentais, temos entao uma
outra abordagem:
Para x em R, definamos h(x) = a*sen(x) + b*cos(x), a e b reais
entao, h(0) = b, h'(x) = a*cos(x) - b*sen(x), h'(0)= a
h''(x) = -a*sen(x) - b cos(x) = -h(x).
O seno eh a unica funcao f tal que f(0)=0, f'(0) =1 e f''(x) = - f'(x) para
todo real x. Se fixarmos um y e fizermos g(x) = sen(x+y), teremos que 
g(0) = sen(y), g'(0) = cos(y) e g''(x) = - g(x) para todo x em R. g eh a
unica funcao que atende a estas condicoes. Logo, se fizermos a= cos(y) e b =
sen(y), teremos h(0) = sen(y), h'(0) = cos(y) e h''(x) - -h(x) para todo x
em R. Concluimos assim que h = g e que 
sen(x+y) = cos(y)*sen(x)* + sen(y)*cos(x), a famosa formula do seno de uma
forma. 
De forma similar, mostramos que cos(x+y) = cos(y)*cos(x) - sen(y)*sen(x).
Mas e vc definir o seno pelo circulo trigonometrico, entao esta demonstracao
naum serve, pois para determinarmos a derivada do seno precisamos conhecer
previamente as formulas sa soma.
Um ponto interessante eh que a prova baseada em derivadas tambem serve para
argumentos complexos. 
Artur 


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] fórmula de transformação da soma em produto
Data: 11/08/04 08:15

oi.
Eu gostaria de saber qual a dedução das fórmulas de
transformação de adição/subtração de seno e cosseno em
produto.
Obrigado,
Felipe



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