Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Chicao Valadares wrote:

>Só, um detalhe:Vc provou que todo quadrado é uma soma
>de quadrados mas o que a questao pede é que todo
>elemento(quadrado ou nao) é soma de quadrados.
>
>[]´s
>
Você leu tudo? O caso em que o elemento é um quadrado é trivial, o outro 
caso tá demonstrado.
A única afirmação que eu joguei sem demonstrar é que o produto de dois 
não-quadrados é um quadrado, mas era pra vc pensar um pouco...

A idéia é bem simples: seja y um elemento de K que não é quadrado.
Considere o mapa x -> y*x.
Como x^2 -> y*x^2 e y*x^2 não é quadrado, temos que este mapa leva 
quadrados em não-quadrados e 0 em 0, para onde devem ir os não 
quadrados? claramente, por um argumento de contagem vemos que todos os 
não-quadrados devem ser levados em quadrados, ok?

Ok, agora com um simples argumento você verifica que para um elemento a 
fixo, a^2 + b^2, com b em K* pode assumir (q-1)/2 valores distintos (e 
nenhum deles é a^2), como há exatamente (q-1)/2 quadrados e a^2 está de 
fora, é evidente que existe um elemento não-quadrado w = a^2 + b^2 para 
algum valor de b.

Sendo assim, tome um y não quadrado, sabemos que w^(-1) é não-quadrado 
e, como já provamos, y*w^(-1) = x^2 para algum x e, portanto,
y = x^2 * w, mas isso mata o problema, pois w é soma de quadrados, mais 
especificamente
y = x^2(a^2 + b^2) = (ax)^2 + (bx)^2.

Espero que tenha sido claro!

[ ]'s
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================