Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Valeu Domingos...Observando o artigo da Eureka
"inteiros de gauss e inteiros de eisenstein" nao
entendi o topico 1.9 no ultimo paragrafo:

"Portanto, conseguimos identificar que se algum alfa_i
for impar, o numero de d´s da forma 4k +3 será
igual..."

Como eu faço para contar, dentre os divisores impares
de um número, os que sao da forma 4k + 1 e os que sao
da forma 4k + 3??


 --- "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> escreveu: 
> Chicao Valadares wrote:
> 
> >Ficarei feliz se responderem pelo menos duas
> dessas:
> >
> >1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento
> de
> >K é soma dos quadrados de 2 elementos de
> >K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
> >  
> >
> 
> para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2
> que, por definição é 
> um quadrado.
> veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x -
> y) = 0 <=>
> x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e
> vale a regra do 
> cancelamento)
> <=> x = +/-y
> 
> então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não
> nulos) no corpo... dá 
> pra mostrar que
> isso é exato e que os demais elementos são
> não-quadrados, mas isso eu 
> deixo pra vc.
> 
> >2-Seja n>=2 natural.Mostre a equivalencia das
> >condiçoes:
> >i) -1 é um quadrado em Zn.
> >ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
> >iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1
> mod
> >4 , e_p={0,1}, w um natural.
> >Notaçao:
> >e_p-> Expoente de p 
> >Prod_k=1_n(s)-> Produtorio de k=1 a n dos elementos
> de
> >s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em
> 
> >p^(e_p)).  
> >
> >3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod
> 4.Mostre
> >que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
> >conjugados de norma p.Como isso se expressa em
> termos
> >do numero de representaçoes de p como soma de 2
> >quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2????
> >
> >4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2,
> sendo
> >a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2
> admite
> >somente as soluçoes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
> >admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
> >  
> >
> tá isso tudo você vai encontrar no seguinte livro:
> Introduction to the Theory of Numbers, do Hardy
> 
> a leitura não é das mais simples mas as suas
> questões também não são 
> bobas...
> este livro demonstra quem são os primos em Z[i] e a
> partir daí você pode 
> matar suas dúvidas, em especial, o item 4 vai sair
> bem fácil.
> 
> [ ]'s
> 
> Domingos.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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