Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Valeu Domingos...Observando o artigo da Eureka
"inteiros de gauss e inteiros de eisenstein" nao
entendi o topico 1.9 no ultimo paragrafo:

"Portanto, conseguimos identificar que se algum alfa_i
for impar, o numero de d�s da forma 4k +3 ser�
igual..."

Como eu fa�o para contar, dentre os divisores impares
de um n�mero, os que sao da forma 4k + 1 e os que sao
da forma 4k + 3??


 --- "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> escreveu: 
> Chicao Valadares wrote:
> 
> >Ficarei feliz se responderem pelo menos duas
> dessas:
> >
> >1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento
> de
> >K � soma dos quadrados de 2 elementos de
> >K.Sugest�o:Conte os quadrados em K.
> >  
> >
> 
> para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2
> que, por defini��o � 
> um quadrado.
> veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x -
> y) = 0 <=>
> x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e
> vale a regra do 
> cancelamento)
> <=> x = +/-y
> 
> ent�o temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (n�o
> nulos) no corpo... d� 
> pra mostrar que
> isso � exato e que os demais elementos s�o
> n�o-quadrados, mas isso eu 
> deixo pra vc.
> 
> >2-Seja n>=2 natural.Mostre a equivalencia das
> >condi�oes:
> >i) -1 � um quadrado em Zn.
> >ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
> >iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1
> mod
> >4 , e_p={0,1}, w um natural.
> >Nota�ao:
> >e_p-> Expoente de p 
> >Prod_k=1_n(s)-> Produtorio de k=1 a n dos elementos
> de
> >s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em
> 
> >p^(e_p)).  
> >
> >3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod
> 4.Mostre
> >que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
> >conjugados de norma p.Como isso se expressa em
> termos
> >do numero de representa�oes de p como soma de 2
> >quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2????
> >
> >4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2,
> sendo
> >a e b naturais, tais que a equa�ao n=x^2 + y^2
> admite
> >somente as solu�oes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
> >admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
> >  
> >
> t� isso tudo voc� vai encontrar no seguinte livro:
> Introduction to the Theory of Numbers, do Hardy
> 
> a leitura n�o � das mais simples mas as suas
> quest�es tamb�m n�o s�o 
> bobas...
> este livro demonstra quem s�o os primos em Z[i] e a
> partir da� voc� pode 
> matar suas d�vidas, em especial, o item 4 vai sair
> bem f�cil.
> 
> [ ]'s
> 
> Domingos.
>
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> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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"O Bin�mio de Newton � t�o belo como a V�nus de Milo.
O que h� � pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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