[obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:

1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de
K � soma dos quadrados de 2 elementos de
K.Sugest�o:Conte os quadrados em K.

2-Seja n>=2 natural.Mostre a equivalencia das
condi�oes:
i) -1 � um quadrado em Zn.
ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1 mod
4 , e_p={0,1}, w um natural.
Nota�ao:
e_p-> Expoente de p 
Prod_k=1_n(s)-> Produtorio de k=1 a n dos elementos de
s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em 
p^(e_p)).  

3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod 4.Mostre
que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
conjugados de norma p.Como isso se expressa em termos
do numero de representa�oes de p como soma de 2
quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2????

4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2, sendo
a e b naturais, tais que a equa�ao n=x^2 + y^2 admite
somente as solu�oes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.

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"O Bin�mio de Newton � t�o belo como a V�nus de Milo.
O que h� � pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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