Re:[obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

A forma mais simples de mostrar isto talvez seja por L'Hopital. Mas hah uma
outra forma, tambem simples e elegante, baseada na definicao da funcao
exponencial, por serie de potências. 
Eh suficiente mostrar que a condicao vale para polinomios simples do tipo
P(x) = x^n. Temos que e^x = 1+ x...+x^n/n!.....Para todo inteiro n>=1 e todo
x>0, temos entao que e^x > (x^(n+1))/(n+1)!. Logo, e^x/x^n >
((x^(n+1))/(n+1)!)/x^n = x/(n+1)! . Fixando-se n, eh imediato que o segundo
menbro tende a inf quando x-> inf. E como o primeiro membro domina o
segundo, temos a conclusao desejada, que vale para todo inteiro n. E eh
facil concluir que isto permanece valido para todo real n. 
Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re:[obm-l] Limites
Data: 28/07/04 12:46


Acho este modo um pouco mais elementar...Na verdade foi uma questao da
Olimpiada Paulista...
Veja que para x>0 vale: (e^x)>1+x.
Entao e^x=((e^(x/2))^2)>(1+(x/2))^2=1+x+((x^2)/4), e assim vemos que exp
cresce mais rapido que x.
Podemos, no lugar de x/2, usar x/k e ver que e^x cresce mais rapido que
qualquer monomio em x. Com isso, e facil concluir!

kleinad@webcpd.com wrote:
Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a > 1.
Se isso tende a infinito, então (a^x)/x também tende.

f'(x) = log a - (1/x).

Se x > 2/log a, f'(x) é sempre maior que (1/2)*log a pois é crescente.

Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] >= I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*
(x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c até x.

Logo, f(x) >= (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a
infinito, e, como conseqüência, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.

Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a
tende a infinito.

De fato, tomando e = b^a (b > 1), temos que a a-ésima raiz de e^x/x^a será

b^x/x, e, como b > 1, temos b^x/x -> +oo. Logo, e^x/x^a -> +oo.

Como p(x) eu creio que seja um polinômio qualquer, ! então podemos separá-lo
em frações simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.

[]s,
Daniel



agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis! 

________________________________________________
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================