Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Outra forma de resolver o problema da IMC é provar que se um subconjunto de
R tem um número finito de pontos de acumulação, então ele é enumerável. Daí,
basta tomar um ponto e acumulação a, diferente de zero, do conjunto S, um
inteiro positivo n tal que n > 2/|a| e n elementos distintos do intervalo
(a-|a|/2,a+|a|/2), cuja soma será > 1.

[]s,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, July 26, 2004 12:43 PM
Subject: Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)


> (um detalhe a + pra esclarecer)
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> talvez a parte em que eu afirmo que podemos tomar x > 0 não esteja bem
> clara, vou explicar isso melhor (se é que alguém se interessa, hehehe)
> fato: o conjunto dos racionais é enumerável.
> suponha que X = {x : x em S, x > 0} seja não-enumerável (se isso não for
> verdade, podemos pegar o conjunto X = {x : x em S, x < 0} como
> não enumerável).
>
> então uma das duas vale
> i) existem dois racionais q, r > 0 com q < r e [q, r] inter X é não
> enumerável (que é o assumido na minha dem.)
> ii) os único intervalos [q, r] tq [q, r] inter X é não enumerável são
> aqueles em que q = 0.
>
> se (ii) é o caso, então podemos tomar um r tq [0, r] é não enumerável
> (sem perda de generalidade, assuma r = 1).
> Agora tome intervalos do tipo [0, q] com q = 2^(-i), i > 0 inteiro.
> se [q, r] é não-enumerável, (i) vale, caso contrário,
> cada [2^(-i-1), 2^(-i)] inter X é enumerável e, portanto,
> [0, 1] inter X = União_{i = 0}^oo  {[2^(-i-1), 2^(-i)] inter X} é uma
> união enumerável de conjuntos enumeráveis e, portanto é enumerável.
>
> acho que agora está ok.
>
> [ ]'s
>
> > Se S é não-enumerável, há um intervalo [x, y) onde [x, y) inter S é
> > infinito, caso contrário, os conjuntos [i, i+1) inter S, com i
> > inteiro, são finitos e, portanto, enumeráveis, como uma união
> > enumerável (já que os intervalos [i, i+1) são enumeráveis) de conj.
> > enumeráveis é enumerável, S seria enumerável.
> >
> > podemos assumir que x, y > 0 sem perda de generalidade, pois podemos
> > inverter os sinais de todos os elementos de S e escolher sempre um
> > intervalo com x, y > 0.
> >
> > seja k >= teto{1/x}
> > tome s_1, ..., s_k em [x, y) (k elementos distintos de [x, y) formam
> > um conjunto finito), é claro que
> > s_1 + ... + s_k > k*x >= (1/x)*x = 1.
> >
> > pra completar, note que o conjunto S = {2^-i | i > 0 inteiro}
> > é tal que qualquer soma de quaisquer k elementos é menor que 1, basta
> > ver que se X = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
> > 2X = 1 + 1/2 + 1/4 + ...
> > 2X - X = 1 => X = 1.
> >
> > [ ]'s
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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