Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

(um detalhe a + pra esclarecer)















talvez a parte em que eu afirmo que podemos tomar x > 0 não esteja bem 
clara, vou explicar isso melhor (se é que alguém se interessa, hehehe)
fato: o conjunto dos racionais é enumerável.
suponha que X = {x : x em S, x > 0} seja não-enumerável (se isso não for 
verdade, podemos pegar o conjunto X = {x : x em S, x < 0} como
não enumerável).

então uma das duas vale
i) existem dois racionais q, r > 0 com q < r e [q, r] inter X é não 
enumerável (que é o assumido na minha dem.)
ii) os único intervalos [q, r] tq [q, r] inter X é não enumerável são 
aqueles em que q = 0.

se (ii) é o caso, então podemos tomar um r tq [0, r] é não enumerável 
(sem perda de generalidade, assuma r = 1).
Agora tome intervalos do tipo [0, q] com q = 2^(-i), i > 0 inteiro.
se [q, r] é não-enumerável, (i) vale, caso contrário,
cada [2^(-i-1), 2^(-i)] inter X é enumerável e, portanto,
[0, 1] inter X = União_{i = 0}^oo  {[2^(-i-1), 2^(-i)] inter X} é uma 
união enumerável de conjuntos enumeráveis e, portanto é enumerável.

acho que agora está ok.

[ ]'s

> Se S é não-enumerável, há um intervalo [x, y) onde [x, y) inter S é 
> infinito, caso contrário, os conjuntos [i, i+1) inter S, com i 
> inteiro, são finitos e, portanto, enumeráveis, como uma união 
> enumerável (já que os intervalos [i, i+1) são enumeráveis) de conj. 
> enumeráveis é enumerável, S seria enumerável.
>
> podemos assumir que x, y > 0 sem perda de generalidade, pois podemos 
> inverter os sinais de todos os elementos de S e escolher sempre um 
> intervalo com x, y > 0.
>
> seja k >= teto{1/x}
> tome s_1, ..., s_k em [x, y) (k elementos distintos de [x, y) formam 
> um conjunto finito), é claro que
> s_1 + ... + s_k > k*x >= (1/x)*x = 1.
>
> pra completar, note que o conjunto S = {2^-i | i > 0 inteiro}
> é tal que qualquer soma de quaisquer k elementos é menor que 1, basta 
> ver que se X = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
> 2X = 1 + 1/2 + 1/4 + ...
> 2X - X = 1 => X = 1.
>
> [ ]'s
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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