Acho que a condição necessária e suficiente é: um dos termos é o simétrico da razão da PA:
Ida:
Se um dos termos é o simétrico da razão então 0 pertence a PA e a razão também é um de seus termos.
Podemos dividir em dois casos: r>0 e r<0
r >0
Se r>0 então o primeiro termo desta PA deve ser um número negativo digamos
-nr, com n natural não nulo.
Pela definição de PA cada termo a partir do segundo é igual ao anterior mais a razão. Logo todos os termos a partir do segundo serão escritos como a soma de dois termos da própria PA.
O problema seria o primeiro termo mas neste caso temos
-nr =-(n-1)r-r
onde -(n-1)r
e -r são dois termos distintos da PA.
O caso r<0 é analogo.
Reciprocamente:
Como cada termo da PA é a soma de dois termos desta mesma PA temos:
a_1 = a_m+a_n
a_1=a_1+(m-1)r+a_1 +(n-1)r
donde
como n,m>=1 e n<>m temos (n+m)>2
e por isso [2-(n+m)]<0 e
se r>0 então a_1<0
ser<0 então a_1>0
considerando o termo a_(n+m+3)
temos
a_(n+m+3) = a_1=r[2-(n+m)]+ (n+m-2)r = 0
a_(n+m+3)=0
e portanto
a_(n+m+2)=-r
Logo um dos termos é o simétrico da razão!
[],s
Fernando
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 02 Jul 2004 15:20:43 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Problema interessante de PA |
> "Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois termos, da mesma progressão. "
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>
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