Re: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Derivadas Parciais (Resposta ao comentário do Artur)

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

O conceito de continuidade uniforme, alem do que vc
disse, tem uma interpretacao interessante. Suponhamos
que f seja definida em um dominio D de R^m com valores
em R^n. Se a pertence a D, dizemos que f eh continua
em a se, para todo eps>0, existir um d>0, tal que, se
x estah em D e |x-a|<d, entao |f(x) - f(a)| < eps. De
modo geral, temos d = d(eps, a), isto eh, d depende de
eps e de a. Por exemplo, a funcao f(x) = 1/x eh
continua em R - {0}. Mas, para um dado eps, a escolha
do d sempre dependera de a. Naum eh possivel encontrar
um d que, para um mesmo eps, atenda aa condicao de
continuidade para todos os reais a<>0.
Quando, para todo eps>0, for possivel encontrar  um
mesmo d que assegure a condicao de continuidade para
todos os elementos do dominio D, dizemos entao que f
eh uniformemente continua. Isto eh, d = d(eps), d
depende so de eps. Exemplos triviais sao as funcoes
constantes e a funcao identidade f(x) = x. Outro
exemplo eh f(x) = 1/x em [a, inf) para todo a>0.
Mudando-se apenas as palavras, temos a definicao
usual, na qual o fato de d nao depender de a, mas so
de eps, estah implicito. f eh unformemente continua em
D se, para todo eps>0, existir um d>0, (dependente de
eps)tal que, para todos x e y de D satisfazendo a
|x-y| < d, tivermos |f(x) - f(y)| < eps. 
Se D for o dominio de f, eh imediato que continuidade
uniforme implica continuidade.
Artur     

> > Artur,
> > 
> > Eu acho que a função seria uniformemente contínua
> > apenas se U fosse convexo. Eu entendo que
> > uniformemente contínua significa que eu sempre
> > consigo aproximar a imagem de dois pontos
> quaisquer
> > a partir de sua aproximação. Então, para o caso de
> U
> > não ser convexo, vão existir pares no domínio tais
> > que a reta que os une não está inteiramente
> contida
> > em U.
> > 
> > Voce concorda?
> > 
> > -----Mensagem original-----
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de
> Artur
> > Costa Steiner
> > Enviada em: Friday, June 25, 2004 12:51 PM
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: Re: [obm-l] Derivadas Parciais
> > 
> > >
> > Oi Wellinton, esta questao jah esteve na lista
> sim.
> > Para resolve-la, veja a sugestao do Claudio.
> > Uma observacao. A funcao eh uniformemente
> continua,
> > sim. A condicao  | F(X) – F(Y) | <= M | X – Y |
> para
> > quaisquer X, Y pertencente a U, eh conhecida por
> > condicao de Lipschitz e implica continuidade
> > uniforme. Dado eps>0, basta escolher delta = eps/M
> e
> > teremos|  F(X) – F(Y) | < eps para todos X e Y em
> U
> > que satisfacam a | X – Y |  < delta.
> > Artur
> > 
> > P arece que a questão abaixo esteve na lista.
> Alguém
> > poderia me ajudar a encontrá-la?
> > >
> > 
> > 1)       Prove que se F (definida num subconjunto
> U
> > aberto e convexo de Rn) possui derivadas parciais,
> > com |dF/dXi|<=M (i variando de 1 a m) em todos os
> > pontos de U, então, | F(X) – F(Y) | <= M | X – Y |
> > (norma da soma) para quaisquer X, Y pertencente a
> U.
> > Conclua que se F possui derivadas parciais
> limitadas
> > num aberto qualquer ela é contínua (mas não
> > necessariamente uniformemente contínua).
> > 
> > [ ]’s
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