Re: [obm-l] calculo de área - acho que precisa de integral

[Rafael Ando <rafael_ando@xxxxxxxxxxxx>]

Bruno França dos Reis wrote:

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>
>Ola
>
>Como já disse, estou no 3o. ano, entao NAO aprendi cálculo integral 
>"oficialmente"... Já li sobre em vários livros, entre eles Fundamentos de 
>Matematica Elementar, do Iezzi.
>
>Um problema que um amigo meu me havia proposto e que não sei se cheguei na 
>resposta (ele tb nao sabe a resposta) era o seguinte:
>
>Tem uma figura com uma área hachurada, devemos calcular o valor dessa área. 
>Tentarei descrever a figura:
>Um quadrado de lado "a". Com o compasso no vértice inferior esquerdo, traça-se 
>um quarto de circunferência (C1) (interno ao quadrado), de raio "a" também. 
>Com o compasso no centro do quadrado, traça-se uma circunferência (C2) de 
>raio "a"/2.
>Hachura-se a intersecção de C2 com a parte externa de C1.
>
>qual a área em funcao de "a"?
>
>fiz o seguinte:
>um par de eixos sendo o eixo x coincidente com a diagonal do quadrado 
>sup.esq.-inf.dir. O eixo y seria a outra diagonal do quadrado, de forma que 
>há simetria. Calculei a equação das circunferência e fiz uma integral 
>definida de -a/2 até a/2, subtraí o que sobrava do quadrado e da outra 
>circunferência, e meu Maple disse algo que tenho medo de colar aqui. Era 
>horrível! Tinha, se nao me engano, sqrt(-i)... coisas horriveis! muito, muito 
>feio... nao sei como pode uma simples área ter dado uma resposta tao grande e 
>feia.
>
>é pra ser isso mesmo? errei em cálculos? tem outro jeito de fazer?
>
>até
>
>bruno
>
>
>- -- 
>Bruno França dos Reis
>brunoreis at terra com br
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>=EfRJ
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>
>  
>
Definindo os eixos como vc definiu as equações das duas curvas serão y = 
sqrt(a^2/4-x^2) e y = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2). (considerando apenas a 
região acima do eixo, ie, onde y>0). A área entre 2 curvas é a integral 
da diferença entre as duas funções, ie, integral de sqrt(a^2/4-x^2) - 
sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2). Integrando apenas o lado direito e depois 
multiplicando por 2 (pq a função é par, ie, f(-x) = f(x)), temos q os 
limites de integração serão 0 e a coordenada x do ponto onde as curvas 
se interceptam (que NÃO é a/2), e vale a*sqrt(2)/8 (para encontrar esse 
valor faça sqrt(a^2/4-x^2) = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2)) . Então a área é 
2* (integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2)), onde a 
integral é definida de 0 a a*sqrt(2)/8.
O valor da integral é a^2/64*(8arcsen(sqrt(2)/4) - 32arcsen(sqrt(2)/8) - 
8 + sqrt(31)-sqrt(7)) = 0,0356591*a^2 (aproximadamente), logo o valor da 
área é o dobro e vale portanto aproximadamente 0,071*a^2.
Se não errei em nenhum calculo deve ser isso.... tentei explicar o 
melhor possivel porque vc disse q não aprendera (oficialmente) calculo, 
mas não sei se deu pra entender...

Rafael
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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