Oi, Fabio:
Me parece que 270 eh o numero de triplas ordenadas (a,b,c) de inteiros positivos tais que a*b*c = 720.
Por exemplo, as triplas (1,1,720), (1,720,1) e (720,1,1) sao consideradas distintas na sua solução, mas na verdade representam uma única decomposição de 720.
720 nao é cubo perfeito. Logo, não possui nenhuma decomposição da forma "a*a*a".
Por outro lado, existem 6 decomposições de 720 da forma "a*a*b".
São elas: 1*1*720, 2*2*180, 3*3*80, 4*4*45, 6*6*20 e 12*12*5.
Cada uma delas corresponde a 3 triplas.
Todas as demais têm os 3 fatores distintos, de forma que cada uma corresponde a 6 triplas. Portanto, o número destas é igual a (270-3*6)/6 = 42.
Logo, o número de decomposições distintas de 720 como produto de três inteiros positivos (a menos da ordem dos fatores) é igual a 42 + 6 = 48.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 23 Jun 2004 12:49:38 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] problema combinatoria |
> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> "rafaelc\.l" said:
> > De quantos modos 720 pode ser dividido em um produto
> > de três inteiros positivos?
> > [...]
>
> Como 720 = 2^4*3^2*5, a*b*c = 720 ==>
>
> a = 2^a1*3^a2*5^a3
> b = 2^b1*3^b2*5^b3
> c = 2^c1*3^c2*5^c3
>
> com a1+b1+c1 = 4, a2+b2+c2 = 2, a3+b3+c3 = 1. Essas três equações são
> independentes e têm C(6;2), C(4;2), C(3;2) soluções, respectivamente. Logo o
> número total de maneiras é 6*5*4*3*3*2/2^3 = 270.
>
> []s,
>
> - --
> Fábio Dias Moreira
> -----BEGIN PGP SIGNATURE-----
> Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
>
> iD8DBQFA2aagalOQFrvzGQoRAoZPAJ4tTORpddz1suZ5PgwjNI3fXwoDZgCfd1ai
> MDotoc4wqsvrRLgfbcZoiI8=
> =CCZ9
> -----END PGP SIGNATURE-----
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>