RE: [obm-l] ajuda

["Rogério Carvalho" <rogeriom@xxxxxxx>]

 2)Dado um triângulo ABC de lados a, b e c e perímetro 2p, mostre que:
a=(p.sen(A/2))/cos(B/2).cos(C/2) 


OBSERVAÇÃO:

Houve um pequeno erro de transcrição, pois o correto seria:
a=[p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)]


Olá rafaelc,

	Segue uma demonstração possível para este teorema.


DEMONSTRAÇÃO POSSÍVEL:

Aplicando a Leis dos Senos num triângulo ABC qualquer, podemos concluir que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)

Pelas propriedades das proporções, podemos escrever ainda que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = (a + b + c)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]

Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]

Neste ponto, expressamos o lado "a" em função do perímetro e dos ângulos A,
B e C. Então, somente é necessário fazer transformações trigonométricas para
provar o teorema desejado.

Uma vez que:
sen(B) + sen(C) = 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2] (prostaférese)

Teremos:
a = [2p.sen(A)]/{sen(A) + 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2]}

Uma vez que:
A + B + C = 180° => B + C = 180° - A
Logo: sen[(B + C)/2] = sen[(180° - A)/2] = sen(90° - A/2) = cos(A/2)
sen(A) = 2.sen(A/2).cos(A/2) (arco duplo)

Teremos:
a = [2p.2.sen(A/2).cos(A/2)]/{2.sen(A/2).cos(A/2) + 2.cos(A/2).cos[(B -
C)/2]}

Como 0 < A < 180° => 0 < A/2 < 90° => cos(A/2) != 0, podemos simplificar o
numerador e o denominador da expressão por 2.cos(A/2):
a = [2p.sen(A/2)]/{sen(A/2) + cos[(B - C)/2]}

Uma vez que:
A + B + C = 180° => A = 180° - (B + C)
sen(A/2) = sen{[180° - (B + C)]/2} = sen[90° - (B + C)/2] = cos[(B + C)/2]

Teremos:
a = [2p.sen(A/2)]/{cos[(B + C)/2] + cos[(B - C)/2]}
a = [2p.sen(A/2)]/[cos(B/2 + C/2) + cos(B/2 - C/2)]
a = [2p.sen(A/2)]/{[cos(B/2).cos(C/2) - sen(B/2).sen(C/2)] +
[cos(B/2).cos(C/2) + sen(B/2).sen(C/2)]}
a = [2p.sen(A/2)]/[2.cos(B/2).cos(C/2)]
a = [p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)] c.q.d.


Abraços,

Rogério Moraes de Carvalho.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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