Re: [obm-l] Um problema interessante

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Um problema interessante

Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E -> F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.

Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.
T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:
b_1 = T(a_1),  b_2 = T(a_2),  ...,  b_n = T(a_n).

Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.
  
Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:
x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n   e   y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, 
onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.

Teremos:
||x - y|| =
||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =
raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) 
(pois  a base {a_i} eh ortonormal).

Alem disso:
||T(x) - T(y)|| = 
||T(x - y)|| = 
||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| <=
|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| <=
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) <=
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
M*raiz(n)*||x - y||

Ou seja, T eh Lipschitziana.

Dado eps > 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:
||x - y|| < delta ==> ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| < eps.

Ou seja, T eh uniformemente continua.

****

A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.

O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).

Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R -> R por:
T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.

Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.
Logo, T nao obedece ao teorema do valor intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).

[]s,
Claudio.

on 15.06.04 16:23, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

Um problema interessante:



Sabemos que toda transformação linear T: R^n --> F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E --> F é contínua.



Éder.

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