Re: [obm-l] funções contínuas esobrejetiva

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] funções contínuas e sobrejetiva

on 15.06.04 11:50, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> Gostaria que alhuém me ajudasse com os dois problemas abaixo:
>  
>  
> 1) Seja C o conjunto das funções contínuas f:[a,b] --> [a,b] com a 
>  
> métrica do sup. Mostre que o subconjunto de C formado pelas funções 
>  
> que não são sobrejetivas é aberto em C.
>  
> Seja f um elemento de C. 
> Como f eh continua, f([a,b]) eh um intervalo fechado, digamos [c,d].
> Como f nao eh sobrejetiva, entao: 
> a nao pertence a [c,d] ou b nao pertence a [c,d] (ou ambos).
> De qualquer forma, vai existir eps > 0 tal que:
> c - eps > a   ou  d + eps < b.
>
> Sejam: 
> B(f,eps) = {g:[a,b] -> [a,b] | g eh continua e sup(x em [a,b]) |g(x) - f(x)| < eps}
> e
> g pertencente a B(f,eps).
>
> Entao, para todo x em [a,b], vale:
> c - eps <= f(x) - eps < g(x) < f(x) + eps <= d + eps.
> Isso significa que g([a,b]) estah contida em (c-eps,d+eps).
> Logo, a nao pertence a g([a,b]) ou b nao pertence a g([a,b]), o que implica que g nao eh sobrejetiva. Ou seja, g pertence a C.
> Logo, B(f,eps) estah contida em C, o que implica que C eh aberto.
>
>
> []s,
> Claudio.